Obtenha o volume do sólido obtido pela revolução da região delimitada por: e em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar ao redor do eixo a região limitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no gráfico. A função é uma “V” simétrica em relação ao eixo , começando no ponto . Já é uma parábola que também começa no e se abre para cima. As retas verticais e vão limitar nossa região de integração.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde e se intersectam. Igualando as duas equações:
Isso nos dá duas equações, uma para e outra para :
Para : → . Resolvendo, ou (desprezamos pois estamos considerando ).
Para : → . Resolvendo, ou (desprezamos pois estamos considerando ).
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 4
Agora, vamos identificar qual função está por cima da outra no intervalo de integração de a . Observando os gráficos:
Para , está acima de .
Para , está abaixo de .
Isso significa que, para todo o intervalo, é a função superior e a inferior.
Passo 5
Vamos usar o método dos anéis (ou discos), que calcula o volume integrando a área de cada “anel” formado pela diferença entre as funções superiores e inferiores, em relação ao eixo de rotação.
A fórmula geral para o volume é:
Onde:
é a função superior.
é a função inferior.
e são os limites de integração.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso:
Então, o volume será:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Primeiro, expandimos :
Então, substituindo na integral:
Passo 8
Vamos dividir a integral em duas partes para tratar o valor absoluto: