Obtenha o volume do sólido obtido pela revolução da região delimitada por: y = |x| + 2, y = x^2, x = -2 e x = 1 em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar ao redor do eixo a região limitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no gráfico. A função é uma “V” simétrica em relação ao eixo , começando no ponto . Já é uma parábola que também começa no e se abre para cima. As retas verticais e vão limitar nossa região de integração.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde e se intersectam. Igualando as duas equações:
Isso nos dá duas equações, uma para e outra para :
  1. Para : . Resolvendo, ou (desprezamos pois estamos considerando ).
  2. Para : . Resolvendo, ou (desprezamos pois estamos considerando ).
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos identificar qual função está por cima da outra no intervalo de integração de a . Observando os gráficos:
  • Para , está acima de .
  • Para , está abaixo de .
Isso significa que, para todo o intervalo, é a função superior e a inferior.

Passo 5

Vamos usar o método dos anéis (ou discos), que calcula o volume integrando a área de cada “anel” formado pela diferença entre as funções superiores e inferiores, em relação ao eixo de rotação.
A fórmula geral para o volume é:
Onde:
  • é a função superior.
  • é a função inferior.
  • e são os limites de integração.

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso:
Então, o volume será:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Primeiro, expandimos :
Então, substituindo na integral:

Passo 8

Vamos dividir a integral em duas partes para tratar o valor absoluto:
  1. De a , .
  2. De a , .
Então:

Passo 9

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral ( a ):
Calculando termo a termo:
Então:
Avaliado de a :
Para :
Para :
Calculando:
Então, a primeira integral resulta em:
Segunda integral ( a ):
Calculando termo a termo:
Então:
Avaliado de a :
Para :
Para :
Então, a segunda integral resulta em:

Passo 10

Agora, somamos os resultados das duas integrais:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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