integral 4 x^2-7 x-12x(x+2)(x-3) d x

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma fração racional: . Isso envolve o conteúdo de frações parciais, que é uma técnica usada para quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para resolver, vamos precisar decompor essa fração em frações menores.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja, assumimos que:
4x^2 - 7x - 12x(x + 2)(x - 3) = Ax + Bx + 2 + Cx - 3
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de 4x^2 - 7x - 12 = A(x + 2)(x - 3) + Bx(x - 3) + Cx(x + 2) , 4x^2 - 7x - 12 = A(x^2 - x - 6) + B(x^2 - 3x) + C(x^2 + 2x) e 4x^2 - 7x - 12 = (A + B + C)x^2 + (-A - 3B + 2C)x - 6A , multiplicamos ambos os lados da equação por A + B + C = 4 -A - 3B + 2C = -7 -6A = -12 para eliminar os denominadores:
-6A = -12 implies A = 2
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
2 + B + C = 4 implies B + C = 2 -2 - 3B + 2C = -7 implies -3B + 2C = -5
B + C = 2 -3B + 2C = -5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
3B + 3C = 6
Resolvendo a terceira equação primeiro:
(3B + 3C) + (-3B + 2C) = 6 + (-5) implies 5C = 1 implies C = 15
Substituindo B + 15 = 2 implies B = 2 - 15 = 105 - 15 = 95 nas duas primeiras equações:
A = 2, B = 95, C = 15
Agora, temos um sistema de duas equações:
Multiplicamos a primeira equação por 3:
Somando com a segunda equação:
Substituindo na equação :
Então, temos:

Passo 4

Agora que temos os valores de 4x^2 - 7x - 12x(x + 2)(x - 3) = 2x + 95x + 2 + 15x - 3 , 4x^2 - 7x - 12x(x + 2)(x - 3) = 2x + 95(x + 2) + 15(x - 3) e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando as frações:

Passo 5

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 4x^2 - 7x - 12x(x + 2)(x - 3) , dx = integral 2x , dx + integral 95(x + 2) , dx + integral 15(x - 3) , dx
Cada uma dessas integrais é uma forma básica que resulta em logaritmos naturais:
= 2 ln|x| + 95 ln|x + 2| + 15 ln|x - 3| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral calculada é:
integral 4 x^2-7 x-12x(x+2)(x-3) , dx = 2 ln|x| + 95 ln|x + 2| + 15 ln|x - 3| + C

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