Prove as seguintes questões com base em teoremas de cálculo 1 e cálculo 2: Demonstre que toda função polinomial real de duas variáveis reais é contínua em

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que toda função polinomial real de duas variáveis é contínua em . Isso envolve conceitos de continuidade e funções polinomiais em cálculo 1 e 2. Para resolver isso, vamos precisar entender como as operações com funções polinomiais afetam a continuidade.

Passo 2

Vamos começar definindo uma função polinomial de duas variáveis. Uma função polinomial pode ser escrita como uma soma de termos da forma , onde e são inteiros não negativos, e são coeficientes reais. Por exemplo:

Passo 3

Sabemos que funções polinomiais de uma variável são contínuas em . A continuidade significa que pequenos valores de e resultam em pequenos valores de . Para duas variáveis, a definição de continuidade é similar: para cada ponto , o limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 4

Vamos usar o fato de que polinômios são formados por somas e produtos de funções contínuas. Sabemos que funções constantes são contínuas, . Também, funções como e são contínuas.

Passo 5

Como os polinômios são combinações dessas funções contínuas através de somas e produtos, e sabemos que a soma e o produto de funções contínuas também são contínuos, concluímos que qualquer função polinomial é contínua em .

Resposta

Portanto, demonstramos que toda função polinomial real de duas variáveis é contínua em .

Exercícios relacionados

Encontre o volume da região em limitada acima pela esfera e abaixo pela superfície .
(Resp.: onde )
Prove as seguintes questões com base em teoremas de cálculo 1 e cálculo 2: Prove que
Prove as seguintes questões com base em teoremas de cálculo 1 e cálculo 2: Demonstre que a soma dos limites é igual ao limite da soma para funções de duas variáveis reais cujo limite existe.