Prove as seguintes questões com base em teoremas de cálculo 1 e cálculo 2: Demonstre que toda função polinomial real de duas variáveis reais é contínua em
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que toda função polinomial real de duas variáveis é contínua em
. Isso envolve conceitos de continuidade e funções polinomiais em cálculo 1 e 2. Para resolver isso, vamos precisar entender como as operações com funções polinomiais afetam a continuidade.
Passo 2
Vamos começar definindo uma função polinomial de duas variáveis. Uma função polinomial
pode ser escrita como uma soma de termos da forma
, onde
e
são inteiros não negativos, e
são coeficientes reais. Por exemplo:
Passo 3
Sabemos que funções polinomiais de uma variável são contínuas em
. A continuidade significa que pequenos valores de
e
resultam em pequenos valores de
. Para duas variáveis, a definição de continuidade é similar: para cada ponto
, o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
.
Passo 4
Vamos usar o fato de que polinômios são formados por somas e produtos de funções contínuas. Sabemos que funções constantes são contínuas,
. Também, funções como
e
são contínuas.
Passo 5
Como os polinômios são combinações dessas funções contínuas através de somas e produtos, e sabemos que a soma e o produto de funções contínuas também são contínuos, concluímos que qualquer função polinomial
é contínua em
.
Resposta
Portanto, demonstramos que toda função polinomial real de duas variáveis é contínua em
.
Exercícios relacionados
Encontre o volume da região em
limitada acima pela esfera
e abaixo pela superfície
.
(Resp.: onde
)
(Resp.:
Prove as seguintes questões com base em teoremas de cálculo 1 e cálculo 2: Prove que
Prove as seguintes questões com base em teoremas de cálculo 1 e cálculo 2: Demonstre que a soma dos limites é igual ao limite da soma para funções de duas variáveis reais cujo limite existe.