integral 3 x^4 raizx^5+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 3 x^4 raizx^5+3 , dx. Esse exercício é de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função para substituir e simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integração. Olha só, dentro da raiz temos x^5 + 3. Vamos chamar isso de u:
u = x^5 + 3

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 5x^4
Isso significa que:
du = 5x^4 dx

Passo 4

Observando a nossa integral original, temos 3x^4 dx. Queremos expressar isso em termos de du. A gente pode rearranjar a equação anterior para obter x^4 dx:
x^4 dx = du5
Então, multiplicando ambos os lados por 3:
3x^4 dx = 35 du

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral 3 x^4 raizx^5+3 , dx = integral raizu cdot 35 du = 35 integral u^1/2 du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^1/2:
integral u^1/2 du = 23 u^3/2 + C
Multiplicando pela constante 35:
35 cdot 23 u^3/2 = 25 u^3/2 + C

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta para a expressão original em termos de x:
25 (x^5 + 3)^3/2 + C

Resposta

25 (x^5 + 3)^3/2 + C

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