integral-1^2|x-1| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício . Aqui, a gente tem que calcular a integral de uma função valor absoluto. O que precisamos entender é onde a expressão dentro do valor absoluto, ou seja, , muda de sinal. Isso vai nos ajudar a dividir a integral em partes mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde x - 1 = 0 implies x = 1 é igual a zero, porque é aí que o valor absoluto muda de comportamento. Então, resolvemos:
Isso significa que em , a expressão muda de positiva para negativa ou vice-versa.

Passo 3

Com isso em mente, vamos dividir a integral original em duas partes: uma de integral-1^2 |x-1| , dx = integral-1^1 |x-1| , dx + integral1^2 |x-1| , dx até e outra de até . Nesses intervalos, sabemos o sinal de :
Agora, vamos remover o valor absoluto considerando o sinal de em cada intervalo.

Passo 4

No intervalo de integral-1^1 (1 - x) , dx a integral1^2 (x - 1) , dx , é negativo porque . Então, . A integral fica:
Já no intervalo de a , é positivo porque . Então, . A integral fica:

Passo 5

Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
integral-1^1 (1 - x) , dx = [ x - x^22 ]-1^1 = (1 - 12) - (-1 - 12) = 12 + 1 + 12 = 2
Segunda parte:
integral1^2 (x - 1) , dx = [ x^22 - x ]1^2 = (42 - 2) - (12 - 1) = (2 - 2) - (-12) = 0 + 12 = 12

Resposta

Somando as duas partes, temos:
2 + 12 = 52
Então, o valor da integral é .

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