Calcule integral[sen(2 x)]^9 cos (2 x) d x. (Esta questảo é obrigatória para os alunos que não fizeram a atividade em sala.)

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos a integral . Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar parte da função que podemos substituir por uma variável nova para facilitar a integração. Observamos que está elevado a 9 e multiplicado por , que é a derivada de .

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Agora, precisamos encontrar . Derivando ambos os lados em relação a , temos , então . Isso significa que .

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral [sin(2x)]^9 cos(2x) , dx = integral u^9 cdot du2 = 12 integral u^9 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar 12 integral u^9 , du = 12 cdot u^1010 + C = u^1020 + C :

Passo 6

Por fim, substituímos [sin(2x)]^1020 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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