integral x^4 sen(x^5+3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^4 sin(x^5+3) dx. O que precisamos aqui é usar o método de substituição, que é ótimo quando temos uma função complicada dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Vamos deixar u = x^5 + 3. Isso vai simplificar nossa expressão.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du. A derivada de u é:
dudx = 5x^4
Então, multiplicando ambos os lados por dx, temos:
du = 5x^4 dx

Passo 4

Queremos expressar x^4 dx em termos de du. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 5:
x^4 dx = du5

Passo 5

Agora, vamos substituir u e x^4 dx na integral original:
integral x^4 sin(x^5+3) dx = integral sin(u) cdot du5 = 15 integral sin(u) du

Passo 6

A próxima etapa é integrar sin(u) em relação a u. Sabemos que:
integral sin(u) du = -cos(u) + C
Então, substituindo de volta:
15 integral sin(u) du = -15 cos(u) + C

Passo 7

Lembrando que u = x^5 + 3, substituímos de volta para termos de x:
-15 cos(x^5 + 3) + C

Resposta

A integral é igual a -15 cos(x^5 + 3) + C.

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