integral 2 x^3-xx^4-x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que possa ser substituída para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da fração: ddx(x^4 - x^2 + 1) = 4x^3 - 2x . Vamos calcular a derivada desse denominador para ver se ela se relaciona com o numerador.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, compare a derivada do denominador com o numerador da fração 2x^3 - x = 12 (4x^3 - 2x) . Vemos que o numerador é exatamente metade da derivada do denominador:

Passo 4

Com isso, podemos usar a técnica de substituição. Vamos definir:
u = x^4 - x^2 + 1
Então, a derivada de du = (4x^3 - 2x) , dx em relação a 2x^3 - x = 12 du é:
Mas já vimos que:

Passo 5

Agora, substituímos na integral original:
integral 2x^3 - xx^4 - x^2 + 1 , dx = integral 12 duu = 12 integral duu

Passo 6

A integral de 12 integral duu = 12 ln|u| + C em relação a 12 ln|x^4 - x^2 + 1| + C é o logaritmo natural de mais a constante de integração. Então:
Substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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