Passo 1
Estamos encarando um exercício de cálculo integral onde precisamos resolver a integral de uma função racional. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos utilizar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor uma fração complexa em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a fração dada como uma soma de frações parciais. A ideia é encontrar constantes
,
e
tais que:
Isso nos permitirá integrar cada termo separadamente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum
:
Expandindo os termos à direita:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para que as duas expressões sejam iguais para todo
, os coeficientes correspondentes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Resolvendo esse sistema:
Da equação 1:
Substituindo
na equação 2:
Da equação 3:
Agora, resolvemos as equações 4 e 5:
Multiplicamos a equação 4 por 3:
Somando a equação 5 e a equação 6:
Agora, encontramos
:
E, substituindo
na equação 4:
Então,
,
, e
.
Passo 4
Com os valores de
,
e
encontrados, reescrevemos a fração original:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para o primeiro termo, sabemos que:
Então:
Para o segundo termo, vamos completar o quadrado no denominador:
Agora, reescrevemos o numerador para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
A primeira integral é do tipo:
E a segunda é uma forma da integral da função arco tangente:
Aplicando essas fórmulas:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a: