integral 4 x+1(x-3)(x^2+6 x+12) d x

Passo 1

Estamos encarando um exercício de cálculo integral onde precisamos resolver a integral de uma função racional. O enunciado é:
integral 4 x + 1(x - 3)(x^2 + 6 x + 12) , dx
Para resolver isso, vamos utilizar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor uma fração complexa em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração dada como uma soma de frações parciais. A ideia é encontrar constantes 4x + 1(x - 3)(x^2 + 6x + 12) = Ax - 3 + Bx + Cx^2 + 6x + 12 , e tais que:
Isso nos permitirá integrar cada termo separadamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 4x + 1 = A(x^2 + 6x + 12) + (Bx + C)(x - 3) , 4x + 1 = A x^2 + 6A x + 12A + Bx^2 - 3Bx + Cx - 3C e 4x + 1 = (A + B) x^2 + (6A - 3B + C) x + (12A - 3C) . Para isso, multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum 6A - 3(-A) + C = 4 implies 6A + 3A + C = 4 implies 9A + C = 4 (4) :
12A - 3C = 1 (5)
Expandindo os termos à direita:
27A + 3C = 12 (6)
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
27A + 3C + 12A - 3C = 12 + 1 implies 39A = 13 implies A = 1339 = 13
Para que as duas expressões sejam iguais para todo B = -A = -13 , os coeficientes correspondentes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
  1. 9 cdot 13 + C = 4 implies 3 + C = 4 implies C = 1 (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (termo constante)
Resolvendo esse sistema:
Da equação 1:
Substituindo na equação 2:
Da equação 3:
Agora, resolvemos as equações 4 e 5:
Multiplicamos a equação 4 por 3:
Somando a equação 5 e a equação 6:
Agora, encontramos :
E, substituindo na equação 4:
Então, , , e .

Passo 4

Com os valores de 4x + 1(x - 3)(x^2 + 6x + 12) = 13x - 3 + -13x + 1x^2 + 6x + 12 , integral 13x - 3 , dx + integral -13x + 1x^2 + 6x + 12 , dx e integral 1x - a , dx = ln|x - a| + C encontrados, reescrevemos a fração original:
13 ln|x - 3|
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
x^2 + 6x + 12 = (x^2 + 6x + 9) + 3 = (x + 3)^2 + 3
Para o primeiro termo, sabemos que:
-13x + 1 = -13(x + 3) + 2
Então:
-13 integral x + 3(x + 3)^2 + 3 , dx + 2 integral 1(x + 3)^2 + 3 , dx
Para o segundo termo, vamos completar o quadrado no denominador:
integral uu^2 + a^2 , du = 12 ln(u^2 + a^2) + C
Agora, reescrevemos o numerador para facilitar a integração:
integral 1u^2 + a^2 , du = 1a tan^-1(ua) + C
Então, a integral fica:
-13 cdot 12 ln((x + 3)^2 + 3) + 2 cdot 1raiz3 tan^-1(x + 3raiz3) + C
A primeira integral é do tipo:
-16 ln(x^2 + 6x + 12) + 2raiz3 tan^-1(x + 3raiz3) + C
E a segunda é uma forma da integral da função arco tangente:
Aplicando essas fórmulas:
Simplificando:

Resposta

A integral -16 ln(x^2 + 6x + 12) + 2raiz3 tan^-1(x + 3raiz3) + C é igual a:

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