Baseado no teorema fundamental do cálculo, determinar as integrais abaixo: integral0^pi sen^2 x dx

Passo 1

Então, a gente vai resolver uma integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. A integral que temos aqui é . Para resolver isso, vamos precisar de algumas identidades trigonométricas e entender como integrar funções trigonométricas ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin^2 x = 1 - cos(2x)2 . Sabemos que pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Essa identidade ajuda a transformar a função trigonométrica ao quadrado em algo mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, vamos substituir integral0^pi sin^2 x , dx = integral0^pi 1 - cos(2x)2 , dx na integral original:
12 integral0^pi 1 , dx - 12 integral0^pi cos(2x) , dx
Podemos separar essa integral em duas partes para facilitar a resolução:

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
12 integral0^pi 1 , dx = 12 [ x ]0^pi = 12 (pi - 0) = pi2
Essa parte é bem direta porque a integral de 1 em relação a é apenas .

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
12 integral0^pi cos(2x) , dx = 12 [ sin(2x)2 ]0^pi = 14 (sin(2pi) - sin(0)) = 14 (0 - 0) = 0
Aqui, usamos o fato de que e são ambos iguais a 0.

Resposta

Somando as duas partes, temos:
pi2 + 0 = pi2
Então, o valor da integral é .

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