Baseado no teorema fundamental do cálculo, determinar as integrais abaixo:
Passo 1
Então, a gente vai resolver uma integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. A integral que temos aqui é
. Para resolver isso, vamos precisar de algumas identidades trigonométricas e entender como integrar funções trigonométricas ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Essa identidade ajuda a transformar a função trigonométrica ao quadrado em algo mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na integral original:
Podemos separar essa integral em duas partes para facilitar a resolução:
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral:
Essa parte é bem direta porque a integral de 1 em relação a
é apenas
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Aqui, usamos o fato de que
e
são ambos iguais a 0.
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Então, o valor da integral
é
.