integral3^7 1(x+1)(x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Essa questão está no contexto de Cálculo Integral, especificamente lidando com funções racionais. Para resolver, vamos usar o método de frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração 1(x+1)(x-2) = Ax+1 + Bx-2 em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 3

Para descobrir os valores de 1 = A(x - 2) + B(x + 1) e 1 = A(2 - 2) + B(2 + 1) Rightarrow 1 = 0 + 3B Rightarrow B = 13 , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 1 = A(-1 - 2) + B(-1 + 1) Rightarrow 1 = -3A + 0 Rightarrow A = -13 :
1(x+1)(x-2) = -13(x+1) + 13(x-2)
Agora, escolhemos valores de que facilitam a resolução:
  • Quando :
  • Quando :
Então, a decomposição fica:

Passo 4

Agora, substituímos essa decomposição na integral original:
integral3^7 1(x+1)(x-2) , dx = integral3^7 ( -13(x+1) + 13(x-2) ) dx
Vamos separar a integral:
= -13 integral3^7 1x+1 , dx + 13 integral3^7 1x-2 , dx
Sabemos que = -13 ln|x+1| |3^7 + 13 ln|x-2| |3^7 , então aplicamos isso:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores para os limites de integração:
  • Para -13 ln(7+1) + 13 ln(3+1) = -13 ln 8 + 13 ln 4 :
    13 ln(7-2) - 13 ln(3-2) = 13 ln 5 - 13 ln 1
  • Para = -13 ln 8 + 13 ln 4 + 13 ln 5 :
    = 13 (ln 4 + ln 5 - ln 8) = 13 ln(4 times 58) = 13 ln(208) = 13 ln(52)
Como , simplificamos:
Podemos combinar os logaritmos:

Resposta

A integral definida é igual a .

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