Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão é calcular a integral de uma fração racional:
Vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que é uma maneira de simplificar integrais de funções racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios).

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em partes menores. Para isso, assumimos que podemos escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Vamos expandir e simplificar para encontrar os valores de , e .

Passo 4

Expandindo os termos:
Agora, somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (termo constante)

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
E na terceira equação:
Agora temos:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo na primeira equação:
E já que , então

Passo 6

Agora que temos , e , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando cada parte:

Passo 8

Juntando tudo e adicionando a constante de integração :
Podemos simplificar combinando os logaritmos:

Resposta

A integral é igual a

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Sabendo que , determine:
a)
Determine as constantes e , de modo que: