integral x+3(x+1)^2(x+7) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão é calcular a integral de uma fração racional:
integral x+3(x+1)^2(x+7) , dx
Vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que é uma maneira de simplificar integrais de funções racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios).

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em partes menores. Para isso, assumimos que podemos escrever:
x+3(x+1)^2(x+7) = Ax+1 + B(x+1)^2 + Cx+7
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum x + 3 = A(x+1)(x+7) + B(x+7) + C(x+1)^2 para eliminar as frações:
Vamos expandir e simplificar para encontrar os valores de , e .

Passo 4

Expandindo os termos:
  1. x + 3 = A x^2 + 8A x + 7A + Bx + 7B + C x^2 + 2C x + C
  2. x + 3 = (A + C) x^2 + (8A + B + 2C) x + (7A + 7B + C)
Agora, somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (termo constante)

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
E na terceira equação:
Agora temos:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo na primeira equação:
E já que , então

Passo 6

Agora que temos x+3(x+1)^2(x+7) = 19x+1 + 13(x+1)^2 + -19x+7 , x+3(x+1)^2(x+7) = 19cdot1x+1 + 13cdot1(x+1)^2 - 19cdot1x+7 e , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x+3(x+1)^2(x+7) , dx = 19 integral 1x+1 , dx + 13 integral 1(x+1)^2 , dx - 19 integral 1x+7 , dx
Integrando cada parte:

Passo 8

Juntando tudo e adicionando a constante de integração 19 ln|x+1| - 13(x+1) - 19 ln|x+7| + C :
19 ln( x+1x+7 ) - 13(x+1) + C
Podemos simplificar combinando os logaritmos:

Resposta

A integral é igual a
19 ln( x+1x+7 ) - 13(x+1) + C

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