Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão é calcular a integral de uma fração racional:
Vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que é uma maneira de simplificar integrais de funções racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios).
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em partes menores. Para isso, assumimos que podemos escrever:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Vamos expandir e simplificar para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Expandindo os termos:
Agora, somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
E na terceira equação:
Agora temos:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
E já que
, então
Passo 6
Agora que temos
,
e
, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando cada parte:
Passo 8
Juntando tudo e adicionando a constante de integração
:
Podemos simplificar combinando os logaritmos:
Resposta
A integral é igual a
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Sabendo que
, determine:
a)
a)
Determine as constantes
e
, de modo que: