integral -x+3x^2+6 x+13 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral do tipo racional, onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar completar o quadrado no denominador e depois usar substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 + 6x + 13 = (x + 3)^2 + 4 . Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que facilita a integração.
(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 (x + 3)^2 + 4 = x^2 + 6x + 13
Isso porque:

Passo 3

Agora, vamos realizar uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = x + 3 du = dx
Substituindo na integral:
integral -(u - 3) + 3u^2 + 4 du = integral -u + 6u^2 + 4 du

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral -uu^2 + 4 du + integral 6u^2 + 4 du

Passo 5

Primeira parte: integral -uu^2 + 4 du = -12 ln(u^2 + 4) + C1
Aqui, reconhecemos a forma integral 6u^2 + 4 du = 3 tan^-1(u2) + C2 , cuja integral é . Então:
Segunda parte:
Isso se assemelha à integral de , que resulta em . Aqui, :

Passo 6

Juntando as duas partes e substituindo -12 ln((x + 3)^2 + 4) + 3 tan^-1(x + 32) + C :
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral -x + 3x^2+6 x+13 d x = -12 ln(x^2 + 6x + 13) + 3 tan^-1(x + 32) + C

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