Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular . Aqui, vamos precisar usar algumas técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas, principalmente substituição e identidades trigonométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, observamos que a potência de é ímpar ( ) e a de é ímpar ( ). Isso nos permite usar a estratégia de separar uma parte da função que será nossa na substituição. Vamos reescrever a integral separando , que sabemos que a derivada de é .
A integral fica assim:

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição. Vamos deixar , então a derivada de em relação a é:
Observamos que temos na nossa integral, que corresponde a .

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de :
Sabemos que , então:
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, expandimos :
Multiplicando por :
Nossa integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Então, somando tudo:

Passo 7

Agora, voltamos à variável original , lembrando que :

Resposta

A integral de é:

Exercícios relacionados

Determine as constantes e , de modo que:
Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado.
Calcule os seguintes limites:
6. Ache de modo que sejam contínuas as funções:
a) se