Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular
. Aqui, vamos precisar usar algumas técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas, principalmente substituição e identidades trigonométricas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, observamos que a potência de
é ímpar (
) e a de
é ímpar (
). Isso nos permite usar a estratégia de separar uma parte da função que será nossa
na substituição. Vamos reescrever a integral separando
, que sabemos que a derivada de
é
.
A integral fica assim:
Passo 3
Agora, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então a derivada de
em relação a
é:
Observamos que temos
na nossa integral, que corresponde a
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em termos de
:
Sabemos que
, então:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, expandimos
:
Multiplicando por
:
Nossa integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Então, somando tudo:
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
, lembrando que
:
Resposta
A integral de
é:
Exercícios relacionados
Determine as constantes
e
, de modo que:
Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado.
Calcule os seguintes limites:
6. Ache de modo que sejam contínuas as funções:
a) se
6. Ache
a)