integral tan ^5 x sec ^7 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular . Aqui, vamos precisar usar algumas técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas, principalmente substituição e identidades trigonométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, observamos que a potência de integral tan^5 x sec^7 x , dx = integral tan^4 x sec^6 x cdot tan x sec^2 x , dx é ímpar ( ) e a de é ímpar ( ). Isso nos permite usar a estratégia de separar uma parte da função que será nossa na substituição. Vamos reescrever a integral separando , que sabemos que a derivada de é .
A integral fica assim:

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição. Vamos deixar dudx = sec^2 x Rightarrow du = sec^2 x , dx , então a derivada de em relação a é:
Observamos que temos na nossa integral, que corresponde a .

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de integral tan^4 x sec^6 x cdot tan x sec^2 x , dx = integral u^4 cdot (sec^2 x)^3 cdot du :
(sec^2 x)^3 = (1 + u^2)^3
Sabemos que integral u^4 (1 + u^2)^3 , du , então:
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, expandimos (1 + u^2)^3 = 1 + 3u^2 + 3u^4 + u^6 :
u^4 (1 + 3u^2 + 3u^4 + u^6) = u^4 + 3u^6 + 3u^8 + u^10
Multiplicando por integral ( u^4 + 3u^6 + 3u^8 + u^10 ) du :
Nossa integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral u^4 , du = u^55
integral 3u^6 , du = 3 cdot u^77 = 3u^77
integral 3u^8 , du = 3 cdot u^99 = u^93
integral u^10 , du = u^1111
Então, somando tudo:
u^55 + 3u^77 + u^93 + u^1111 + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original tan^5 x5 + 3tan^7 x7 + tan^9 x3 + tan^11 x11 + C , lembrando que :

Resposta

A integral de tan^5 x5 + 3tan^7 x7 + tan^9 x3 + tan^11 x11 + C é:

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