integral0^1 d xraizx(1+raizx)^5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida integral0^1 dxraizx(1+raizx)^5. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo substituições trigonométricas ou algébricas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = raizx. Assim, x = u^2 e, derivando ambos os lados, temos dx = 2u , du. Substituindo na integral:
integral0^1 dxraizx(1+raizx)^5 = integralu=0^u=1 2u , duu(1+u)^5

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão resultante. O u no numerador e no denominador se cancelam:
integral0^1 2u , duu(1+u)^5 = 2 integral0^1 du(1+u)^5

Passo 4

A próxima etapa é integrar 1(1+u)^5. Sabemos que a integral de (1+u)^-n é (1+u)^-n+1-n+1, desde que n neq 1. Aqui, n = 5, então:
integral du(1+u)^5 = (1+u)^-4-4 + C = -14(1+u)^4 + C

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1:
2 [ -14(1+u)^4 ]0^1 = 2 ( -14(2)^4 + 14(1)^4 )

Passo 6

Calculando os valores:
2 ( -14 times 16 + 14 times 1 ) = 2 ( -164 + 14 )

Passo 7

Simplificando dentro dos parênteses:
-164 + 1664 = 1564
Multiplicando por 2:
2 times 1564 = 3064 = 1532

Resposta

A integral integral0^1 dxraizx(1+raizx)^5 é igual a 1532.

Exercícios relacionados