Encontre a equação cartesiana para o círculo osculador da curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação cartesiana do círculo osculador para a curva dada pela função vetorial
, no ponto
. Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo, como derivadas e curvatura. Vamos precisar achar o parâmetro
correspondente ao ponto dado, calcular as derivadas primeira e segunda para achar a curvatura, determinar o raio do círculo osculador e, por fim, encontrar a equação do círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
que corresponde ao ponto
.
A componente
da curva é
. Queremos que
:
Passo 3
Agora, vamos verificar a componente
para confirmar:
Então,
realmente corresponde ao ponto
.
Passo 4
Vamos encontrar a primeira derivada
:
Avaliado em
:
Passo 5
Agora, a segunda derivada
:
Avaliado em
:
Passo 6
A curvatura
para uma curva paramétrica é dada por:
Calculando o produto vetorial no plano (considerando apenas as componentes
e
):
O valor absoluto é
.
O módulo de
é:
Então:
Passo 7
O raio do círculo osculador
é o inverso da curvatura:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar a direção do vetor normal. O vetor normal
pode ser obtido a partir da segunda derivada:
Em
:
Então:
Passo 9
A posição do centro do círculo osculador
é dada por:
Onde
e
:
Passo 10
Finalmente, a equação cartesiana do círculo com centro em
e raio
é:
Substituindo
,
e
:
Resposta
A equação cartesiana do círculo osculador é:
Exercícios relacionados
Mostre que o raio de curvatura(raio do Círculo Osculador) de uma curva plana duas vezes derivável
é dado pela fórmula
Sendo
, onde os pontos indicam as derivadas em relação a
.