Mostre que o raio de curvatura(raio do Círculo Osculador) de uma curva plana duas vezes derivável
é dado pela fórmula
Sendo
, onde os pontos indicam as derivadas em relação a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o raio de curvatura (ou raio do Círculo Osculador) de uma curva plana que pode ser derivada duas vezes, dada por
, é igual a:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e os pontos indicam derivadas em relação a
. Vamos precisar entender conceitos de derivadas e geometria das curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de curvatura. Ele mede o quanto a curva está “curvando” em um ponto específico. Quanto menor o raio, mais a curva está se curvando. Para calcular isso, usamos as derivadas da posição em relação ao parâmetro
.
Passo 3
Vamos definir
e
, assim temos
. As derivadas de primeira ordem são
e
, que representam as componentes da velocidade.
Passo 4
A derivada de segunda ordem,
e
, representam as componentes da aceleração.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Isso representa a derivada da magnitude da velocidade, ou seja, como está mudando a velocidade.
Calculando:
Passo 6
O raio de curvatura é dado por:
Substituindo
que encontramos:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Multiplicando numerador e denominador da fração dentro da raiz por
:
Passo 8
Isso simplifica para:
Passo 9
Portanto, mostramos que o raio de curvatura
da curva
é dado pela fórmula:
Resposta
Assim, comprovamos que o raio de curvatura da curva
é:
Exercícios relacionados
A Regra da Cadeia pode ser usada repetidamente. Se
é função de
,
é função de
, e
é função de
, a regra fica
. Sabendo disso, calcule a derivada de
.
Encontre a equação cartesiana para o círculo osculador da curva
no ponto
.