Mostre que o raio de curvatura(raio do Círculo Osculador) de uma curva plana duas vezes derivável r(t) = f(t) i + g(t) j é dado pela fórmula
rho = (dot(x)^2 + dot(y)^2) / raiz(ddot(x)^2 + ddot(y)^2 - ddot(s)^2)
Sendo ddot(s) = d/dt raiz(dot(x)^2 + dot(y)^2), onde os pontos indicam as derivadas em relação a t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o raio de curvatura (ou raio do Círculo Osculador) de uma curva plana que pode ser derivada duas vezes, dada por , é igual a:
Aqui, é a derivada de em relação a t, e os pontos indicam derivadas em relação a t. Vamos precisar entender conceitos de derivadas e geometria das curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de curvatura. Ele mede o quanto a curva está “curvando” em um ponto específico. Quanto menor o raio, mais a curva está se curvando. Para calcular isso, usamos as derivadas da posição em relação ao parâmetro t.

Passo 3

Vamos definir e , assim temos . As derivadas de primeira ordem são e , que representam as componentes da velocidade.

Passo 4

A derivada de segunda ordem, e , representam as componentes da aceleração.

Passo 5

Agora, vamos calcular . Isso representa a derivada da magnitude da velocidade, ou seja, como está mudando a velocidade.
Calculando:

Passo 6

O raio de curvatura é dado por:
Substituindo que encontramos:

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Multiplicando numerador e denominador da fração dentro da raiz por :

Passo 8

Isso simplifica para:

Passo 9

Portanto, mostramos que o raio de curvatura rho da curva r(t) é dado pela fórmula:

Resposta

Assim, comprovamos que o raio de curvatura da curva é:

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