integralC x y^4 d s, C é a metade direita do círculo x^2+y^2=16.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC x y^4 d s, onde C é a metade direita do círculo x^2+y^2=16. Isso está relacionado ao cálculo de integrais de linha em Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar parametrizar o caminho C e expressar ds em termos de um parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo x^2+y^2=16. Sabemos que um círculo de raio 4 pode ser descrito pelas equações:
x = 4 cos theta
y = 4 sin theta
Aqui, theta varia de -pi2 a pi2 para cobrir a metade direita do círculo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento ds. Ele é dado por:
ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta
Calculando as derivadas:
dxdtheta = -4 sin theta
dydtheta = 4 cos theta
Então,
ds = raiz(-4 sin theta)^2 + (4 cos theta)^2 , dtheta = raiz16 sin^2 theta + 16 cos^2 theta , dtheta = raiz16 (sin^2 theta + cos^2 theta) , dtheta = 4 , dtheta

Passo 4

Substituindo x, y e ds na integral, temos:
integralC x y^4 d s = integral-pi2^pi2 (4 cos theta) (4 sin theta)^4 cdot 4 , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
(4 cos theta) (4 sin theta)^4 cdot 4 = 4 cos theta cdot 256 sin^4 theta cdot 4 = 4096 cos theta sin^4 theta
Então, a integral fica:
4096 integral-pi2^pi2 cos theta sin^4 theta , dtheta

Passo 6

Para resolver a integral integral cos theta sin^4 theta , dtheta, usamos a substituição u = sin theta, então du = cos theta , dtheta. A integral se torna:
integral u^4 , du = u^55 + C
Voltando para theta:
sin^5 theta5
Avaliado de -pi2 a pi2:
sin^5 (pi2)5 - sin^5 (-pi2)5 = 15 - (-15) = 25

Resposta

Portanto, a integral vale 81925.

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