integralC z^2 d x+x^2 d y+y^2 d z, C consiste nos segmentos de reta de (1,0,0) a (4,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha da função ao longo da curva , que é o segmento de reta que vai do ponto até . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = 1 + 3t y = 0 + t z = 0 + 2t . Como é um segmento de reta, podemos usar uma parametrização linear simples. Vamos definir um parâmetro que varia de 0 a 1.
As equações paramétricas ficam assim:
Isso porque estamos indo de para , então a variação em é de 3 unidades, em é de 1 unidade e em é de 2 unidades.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de dx = ddt(1 + 3t) , dt = 3 , dt dy = ddt(t) , dt = 1 , dt dz = ddt(2t) , dt = 2 , dt , e em relação a , que serão , e :

Passo 4

Vamos substituir as expressões de integralC z^2 , dx + x^2 , dy + y^2 , dz = integral0^1 (2t)^2 cdot 3 , dt + (1 + 3t)^2 cdot 1 , dt + (t)^2 cdot 2 , dt , , , , e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo da integral:
(2t)^2 cdot 3 = 4t^2 cdot 3 = 12t^2 (1 + 3t)^2 = 1 + 6t + 9t^2 (t)^2 cdot 2 = 2t^2
Então, a integral fica:
integral0^1 12t^2 + 1 + 6t + 9t^2 + 2t^2 , dt = integral0^1 1 + 6t + 23t^2 , dt

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^1 1 , dt = t |0^1 = 1 - 0 = 1 integral0^1 6t , dt = 3t^2 |0^1 = 3(1)^2 - 3(0)^2 = 3 integral0^1 23t^2 , dt = 233 t^3 |0^1 = 233(1)^3 - 233(0)^3 = 233
Somando tudo:
1 + 3 + 233 = 4 + 233 = 123 + 233 = 353

Resposta

O valor da integral é .

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