,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha onde a curva está definida por , e para . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a função que estamos integrando, , em termos de .
Substituindo os valores dados:
Então, a função se torna:
Sabemos que , então:
Portanto, a função simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial de arco . Para uma curva parametrizada por , temos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na fórmula de :
Usando a identidade trigonométrica novamente:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Simplificando:

Resposta

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é a metade direita do círculo .
Resolva equaçãoes exatos:
d) .
consiste nos segmentos de reta de a .
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde com .