integralC(x^2+y^2+z^2) d s, C: x=t, y=cos 2 t, z=sen 2 t, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha onde a curva está definida por , e para . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a função que estamos integrando, x^2 = t^2 , em termos de y^2 = cos^2 2t .
Substituindo os valores dados:
z^2 = sin^2 2t
t^2 + cos^2 2t + sin^2 2t
cos^2 2t + sin^2 2t = 1
Então, a função se torna:
t^2 + 1
Sabemos que , então:
Portanto, a função simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial de arco ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 dt . Para uma curva parametrizada por dxdt = 1 , temos:
dydt = -2sin 2t
Calculando as derivadas:
dzdt = 2cos 2t
ds = raiz1 + (-2sin 2t)^2 + (2cos 2t)^2 dt = raiz1 + 4sin^22t + 4cos^22t dt
sin^22t + cos^22t = 1
Substituindo na fórmula de ds = raiz1 + 4(1) dt = raiz5 dt :
Usando a identidade trigonométrica novamente:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos integralC (x^2 + y^2 + z^2) ds = integral0^2pi (t^2 + 1) raiz5 dt = raiz5 integral0^2pi (t^2 + 1) dt e na integral original:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
raiz5 [ t^33 + t ]0^2pi = raiz5 ( (2pi)^33 + 2pi )
Simplificando:
raiz5 ( 8pi^33 + 2pi )

Resposta

raiz5 ( 8pi^33 + 2pi )

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