Resolva equaçãoes exatos:
e)
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você me mandou:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas, que são aquelas onde a equação pode ser escrita na forma
e satisfaz uma condição específica para ser “exata”. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar uma função potencial que nos dê a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa equação:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é realmente exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Passo 4
Em uma equação exata, essas derivadas devem ser iguais, ou seja:
No nosso caso:
Como as derivadas não são iguais, a equação não é exata inicialmente. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 5
Vamos procurar um fator integrante
que dependa somente de
ou de
. Vamos supor que
depende apenas de
, então
. A condição para que
seja exata é:
Após alguns cálculos, descobrimos que a equação pode ser tornada exata multiplicando por
, porém, isso complica muito. Então, vamos tentar outro caminho.
Passo 6
Outra abordagem é verificar se a equação pode ser simplificada. Observando a equação original:
Podemos reescrever isso como:
Integrando termo a termo:
-
-
-
(considerando constante em relação a ) -
Passo 7
Somando todas as integrais, temos:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante.
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