Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
.
Passo 1
Então, vamos lá! Você tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
com a condição inicial
. A função
é uma função definida por partes:
Vamos usar o segundo teorema de traslação, que na prática, envolve resolver a EDO usando fatores integrantes e considerar as diferentes partes da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a EDO para o intervalo
, onde
. A equação fica:
Para resolver essa equação, vamos usar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
A esquerda da equação agora é a derivada de
:
Integrando os dois lados em relação a
:
Vamos resolver a integral usando integração por partes, onde
e
. Assim:
Portanto:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Assim, a solução para
é:
Passo 3
Agora, vamos resolver a EDO para o intervalo
, onde
. A equação fica:
Essa é uma equação diferencial homogênea de primeira ordem. A solução geral é:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Para achar o valor de
, precisamos garantir que a solução seja contínua em
. Ou seja, o valor de
na aproximação de
por valores menores que 1 deve ser igual ao valor para
maiores ou iguais a 1.
Usando a solução do primeiro intervalo:
E da segunda solução:
Igualando os dois:
Portanto, a solução para
é:
Resposta
A solução da EDO é dada por: