Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde com .

Passo 1

Então, vamos lá! Você tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo com a condição inicial . A função é uma função definida por partes:
Vamos usar o segundo teorema de traslação, que na prática, envolve resolver a EDO usando fatores integrantes e considerar as diferentes partes da função .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a EDO para o intervalo , onde . A equação fica:
Para resolver essa equação, vamos usar um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
A esquerda da equação agora é a derivada de :
Integrando os dois lados em relação a :
Vamos resolver a integral usando integração por partes, onde e . Assim:
Portanto:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Assim, a solução para é:

Passo 3

Agora, vamos resolver a EDO para o intervalo , onde . A equação fica:
Essa é uma equação diferencial homogênea de primeira ordem. A solução geral é:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Para achar o valor de , precisamos garantir que a solução seja contínua em . Ou seja, o valor de na aproximação de por valores menores que 1 deve ser igual ao valor para maiores ou iguais a 1.
Usando a solução do primeiro intervalo:
E da segunda solução:
Igualando os dois:
Portanto, a solução para é:

Resposta

A solução da EDO é dada por:

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consiste nos segmentos de reta de a .
,
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Determine o domínio da função vetorial