Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração
integral0^raizpi integraly^raizpi cos (x^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla aqui:
integral0^raizpi integraly^raizpi cos (x^2) , dx , dy
O que a gente precisa fazer é desenhar a região onde vamos integrar e trocar a ordem das integrações para facilitar o cálculo. Isso envolve um pouco de geometria e entendimento sobre como as integrações funcionam em conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa vai de até . Para cada valor de , a integral interna vai de até .
Isso significa que estamos integrando sobre uma região no plano onde varia de até para cada entre e .

Passo 3

Vamos esboçar essa região. No gráfico:
  • O eixo vai de até .
  • Para cada , começa em e vai até .
Isso forma uma região triangular onde a linha é a fronteira inferior e é a fronteira direita.

Passo 4

Agora, vamos trocar a ordem das integrações. Em vez de integrar integral0^raizpi integral0^x cos (x^2) , dy , dx de a e de a , vamos integrar de a e de a .
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna integral0^x cos (x^2) , dy = cos (x^2) cdot integral0^x dy = cos (x^2) cdot (x - 0) = x cos (x^2) . Como não depende de , podemos tratá-la como uma constante em relação a :

Passo 6

Agora, nossa integral dupla virou uma única integral:
integral0^raizpi x cos (x^2) , dx
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples.

Passo 7

Vamos deixar integral0^raizpi x cos (x^2) , dx = 12 integral0^pi cos(u) , du . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, . Isso significa que .
Substituindo na integral:

Passo 8

Agora, vamos integrar 12 integral0^pi cos(u) , du = 12 [ sin(u) ]0^pi = 12 ( sin(pi) - sin(0) ) em relação a 12 (0 - 0) = 0 :
Sabemos que e , então:

Resposta

O valor da integral é 0.

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