Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla aqui:
O que a gente precisa fazer é desenhar a região onde vamos integrar e trocar a ordem das integrações para facilitar o cálculo. Isso envolve um pouco de geometria e entendimento sobre como as integrações funcionam em conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa vai de
até
. Para cada valor de
, a integral interna vai de
até
.
Isso significa que estamos integrando sobre uma região no plano
onde
varia de
até
para cada
entre
e
.
Passo 3
Vamos esboçar essa região. No gráfico:
- O eixo
vai de até . - Para cada
, começa em e vai até .
Isso forma uma região triangular onde a linha
é a fronteira inferior e
é a fronteira direita.
Passo 4
Agora, vamos trocar a ordem das integrações. Em vez de integrar
de
a
e
de
a
, vamos integrar
de
a
e
de
a
.
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna
. Como
não depende de
, podemos tratá-la como uma constante em relação a
:
Passo 6
Agora, nossa integral dupla virou uma única integral:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples.
Passo 7
Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
. Isso significa que
.
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O valor da integral é 0.