Integrar as equações diferenciais lineares

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear que você me deu: . A gente vai usar o método das equações diferenciais lineares, que envolve encontrar um fator integrante pra facilitar a resolução. Vamos precisar entender um pouco sobre essa técnica para seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
No seu caso, comparando com a equação dada:
vemos que:

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante . O fator integrante é dado por:
Vamos calcular:
Como geralmente positivo nas aplicações, podemos simplificar para:

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação se torne a derivada do produto . Vamos verificar:
Então, nossa equação fica:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Vamos calcular as integrais do lado direito:
Juntando tudo:

Passo 7

Finalmente, resolvemos para multiplicando ambos os lados por :
Simplificando os termos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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