Integrar as equações diferenciais lineares
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear que você me deu:
. A gente vai usar o método das equações diferenciais lineares, que envolve encontrar um fator integrante pra facilitar a resolução. Vamos precisar entender um pouco sobre essa técnica para seguir passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
No seu caso, comparando com a equação dada:
vemos que:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante
. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular:
Como
geralmente positivo nas aplicações, podemos simplificar para:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação se torne a derivada do produto
. Vamos verificar:
Então, nossa equação fica:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Vamos calcular as integrais do lado direito:
Juntando tudo:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando os termos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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Integrar as equações diferenciais homogêneas.
Sendo
, calcule a derivada direcional de
no ponto
, na direção da reta
e sentido crescente do eixo
.
Integrar as equações diferenciais exatas.
Integrar as equações diferenciais exatas.
i.