Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na primeira integral que temos aqui:
Estamos lidando com uma integral dupla, que é basicamente uma forma de calcular volumes sob superfícies. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e a função que estamos integrando, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O y varia de -1 a 1, e para cada valor de y, o x varia de até 1. Isso significa que, para cada y, x começa em (o valor absoluto de y) e vai até 1.

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a x:
Vamos expandir para facilitar a integração:
Então, a integral fica:

Passo 4

Substituindo os limites de integração:
Para x = 1:
Para x = :
Então, a diferença é:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a y:
Podemos separar essa integral em partes:

Passo 6

Agora, vamos calcular cada uma:
  1. (porque a função é ímpar)

Passo 7

Substituindo de volta:

Passo 8

Agora, vamos para a segunda integral:
Aqui também temos uma integral dupla, mas a função dentro da integral é , que é um pouco complicada de integrar diretamente.

Passo 9

Vamos primeiro entender a região de integração. O y varia de 0 a 4, e para cada y, x varia de até 2. Isso significa que estamos integrando sobre uma região onde x está entre uma linha inclinada (x = y/2) e a linha vertical x = 2.

Passo 10

Olha só, a função não tem uma antiderivada que pode ser expressa com funções elementares. Isso significa que não conseguimos integrar em termos de funções básicas como polinômios, exponenciais, senos, etc.

Passo 11

Mas, podemos usar o conceito de função erro (erf) para expressar a integral de . A função erro é uma função especial definida por:
No nosso caso, a integral é diferente, mas ainda assim, expressamos a integral em termos de funções conhecidas ou deixamos na forma de integral definida.

Passo 12

Então, para resolver a integral interna:
Não podemos simplificar mais, então deixamos assim ou expressamos em termos de funções especiais.

Passo 13

Agora, a integral completa fica:
Como não podemos integrar facilmente, podemos trocar a ordem de integração para facilitar.

Passo 14

Vamos trocar a ordem de integração. Originalmente, y vai de 0 a 4, e para cada y, x vai de y/2 a 2. Se trocarmos, x varia de 0 a 2, e para cada x, y varia de 0 a 2x.

Passo 15

Então, a integral fica:
Agora, a integral interna em relação a y é simples:

Passo 16

Agora, nossa integral reduz para:
Essa integral é mais amigável. Reconhecemos a forma de uma integral de uma função composta.

Passo 17

Vamos fazer uma substituição simples:
Seja , então . Isso significa que:

Passo 18

Aplicando os limites de integração:

Passo 19

Vamos para a terceira integral:
Mais uma vez, temos uma integral dupla. A função dentro da integral é , que também pode ser um pouco complicada, mas vamos lá.

Passo 20

Primeiro, vamos entender a região de integração. O y varia de 0 a 1, e para cada y, x varia de até . Isso significa que estamos integrando sobre uma região onde x está entre a função e a constante .

Passo 21

Vamos resolver a integral interna em relação a x:
Para integrar , podemos usar uma técnica de redução.

Passo 22

Sabemos que:
Aplicando isso para :
E sabemos que:

Passo 23

Então, substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 24

Agora, aplicando os limites de integração de a :

Passo 25

Calculando em :
Sabemos que e .
Então:
Simplificando:

Passo 26

Calculando em :
Sabemos que se , então e .
Então:
Simplificando:

Passo 27

Agora, a integral em relação a y fica:
Essa integral é bastante complexa e, em geral, não possui uma antiderivada simples. Portanto, a melhor abordagem aqui seria usar métodos numéricos para avaliar a integral.

Resposta

A integral dupla pode ser expressa como:
Para obter um valor numérico, seria necessário utilizar métodos de integração numérica.

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Integre a função sobre a região limitada por e .