Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na primeira integral que temos aqui:
Estamos lidando com uma integral dupla, que é basicamente uma forma de calcular volumes sob superfícies. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e a função que estamos integrando, que nesse caso é .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. O y varia de -1 a 1, e para cada valor de y, o x varia de até 1. Isso significa que, para cada y, x começa em (o valor absoluto de y) e vai até 1.
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a x:
Vamos expandir para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 4
Substituindo os limites de integração:
Para x = 1:
Para x = :
Então, a diferença é:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a y:
Podemos separar essa integral em partes:
Passo 6
Agora, vamos calcular cada uma:
(porque a função é ímpar)
Passo 7
Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, vamos para a segunda integral:
Aqui também temos uma integral dupla, mas a função dentro da integral é , que é um pouco complicada de integrar diretamente.
Passo 9
Vamos primeiro entender a região de integração. O y varia de 0 a 4, e para cada y, x varia de até 2. Isso significa que estamos integrando sobre uma região onde x está entre uma linha inclinada (x = y/2) e a linha vertical x = 2.
Passo 10
Olha só, a função não tem uma antiderivada que pode ser expressa com funções elementares. Isso significa que não conseguimos integrar em termos de funções básicas como polinômios, exponenciais, senos, etc.
Passo 11
Mas, podemos usar o conceito de função erro (erf) para expressar a integral de . A função erro é uma função especial definida por:
No nosso caso, a integral é diferente, mas ainda assim, expressamos a integral em termos de funções conhecidas ou deixamos na forma de integral definida.
Passo 12
Então, para resolver a integral interna:
Não podemos simplificar mais, então deixamos assim ou expressamos em termos de funções especiais.
Passo 13
Agora, a integral completa fica:
Como não podemos integrar facilmente, podemos trocar a ordem de integração para facilitar.
Passo 14
Vamos trocar a ordem de integração. Originalmente, y vai de 0 a 4, e para cada y, x vai de y/2 a 2. Se trocarmos, x varia de 0 a 2, e para cada x, y varia de 0 a 2x.
Passo 15
Então, a integral fica:
Agora, a integral interna em relação a y é simples:
Passo 16
Agora, nossa integral reduz para:
integral0^2 2x e^x^2 , dx
Essa integral é mais amigável. Reconhecemos a forma de uma integral de uma função composta.
Passo 17
Vamos fazer uma substituição simples:
Seja u = x^2, então du = 2x dx. Isso significa que:
integral 2x e^x^2 , dx = integral e^u , du = e^u + C = e^x^2 + C
Passo 18
Aplicando os limites de integração:
[ e^x^2 ]0^2 = e^4 - e^0 = e^4 - 1
Passo 19
Vamos para a terceira integral:
integral0^1 integralarctan y^pi4 sec^5 x , dx, dy
Mais uma vez, temos uma integral dupla. A função dentro da integral é sec^5 x, que também pode ser um pouco complicada, mas vamos lá.
Passo 20
Primeiro, vamos entender a região de integração. O y varia de 0 a 1, e para cada y, x varia de arctan y até pi4. Isso significa que estamos integrando sobre uma região onde x está entre a função arctan y e a constante pi4.
Passo 21
Vamos resolver a integral interna em relação a x:
integralarctan y^pi4 sec^5 x , dx
Para integrar sec^5 x, podemos usar uma técnica de redução.
Passo 22
Sabemos que:
integral sec^n x , dx = sec^n-2 x tan xn-1 + n-2n-1 integral sec^n-2 x , dx
Aplicando isso para n=5:
integral sec^5 x , dx = sec^3 x tan x4 + 34 integral sec^3 x , dx
E sabemos que:
integral sec^3 x , dx = sec x tan x2 + 12 ln |sec x + tan x| | + C
Passo 23
Então, substituindo de volta:
integral sec^5 x , dx = sec^3 x tan x4 + 34 ( sec x tan x2 + 12 ln |sec x + tan x| ) + C
Simplificando:
sec^3 x tan x4 + 3 sec x tan x8 + 38 ln |sec x + tan x| + C
Passo 24
Agora, aplicando os limites de integração de arctan y a pi4:
[ sec^3 x tan x4 + 3 sec x tan x8 + 38 ln |sec x + tan x| ]arctan y^pi4
Passo 25
Calculando em x = pi4:
Sabemos que sec pi4 = raiz2 e tan pi4 = 1.
Então:
Essa integral é bastante complexa e, em geral, não possui uma antiderivada simples. Portanto, a melhor abordagem aqui seria usar métodos numéricos para avaliar a integral.