Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: integral-1^1 integral|y|^1(x+y)^2 d x d y k) integral0^4 integraly / 2^2 e^x^2 d x d y l) integral0^1 integralarctg y^pi / 4 sec ^5 x d x d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na primeira integral que temos aqui:
integral-1^1 integral|y|^1(x+y)^2 ,dx, dy
Estamos lidando com uma integral dupla, que é basicamente uma forma de calcular volumes sob superfícies. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e a função que estamos integrando, que nesse caso é (x + y)^2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O y varia de -1 a 1, e para cada valor de y, o x varia de |y| até 1. Isso significa que, para cada y, x começa em |y| (o valor absoluto de y) e vai até 1.

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a x:
integral|y|^1(x+y)^2 ,dx
Vamos expandir (x + y)^2 para facilitar a integração:
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
Então, a integral fica:
integral|y|^1 (x^2 + 2xy + y^2) ,dx = [x^33 + x^2 y + y^2 x ]|y|^1

Passo 4

Substituindo os limites de integração:
Para x = 1:
1^33 + 1^2 y + y^2 cdot 1 = 13 + y + y^2
Para x = |y|:
|y|^33 + |y|^2 y + y^2 |y| = |y|^33 + |y|^3 + |y|^3 = |y|^33 + |y|^3 + |y|^3 = 7|y|^33
Então, a diferença é:
(13 + y + y^2) - (7|y|^33) = 13 + y + y^2 - 7|y|^33

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a y:
integral-1^1 (13 + y + y^2 - 7|y|^33) ,dy
Podemos separar essa integral em partes:
13 integral-1^1 dy + integral-1^1 y ,dy + integral-1^1 y^2 ,dy - 73 integral-1^1 |y|^3 ,dy

Passo 6

Agora, vamos calcular cada uma:
  1. 13 integral-1^1 dy = 13 [y]-1^1 = 13 (1 - (-1)) = 23
  2. integral-1^1 y ,dy = [y^22]-1^1 = 12 - 12 = 0 (porque a função é ímpar)
  3. integral-1^1 y^2 ,dy = [y^33]-1^1 = 13 - (-13) = 23
  4. integral-1^1 |y|^3 ,dy = 2 integral0^1 y^3 ,dy = 2 [y^44]0^1 = 2 cdot 14 = 12

Passo 7

Substituindo de volta:
23 + 0 + 23 - 73 cdot 12 = 43 - 76 = 86 - 76 = 16

Passo 8

Agora, vamos para a segunda integral:
integral0^4 integraly / 2^2 e^x^2 , dx, dy
Aqui também temos uma integral dupla, mas a função dentro da integral é e^x^2, que é um pouco complicada de integrar diretamente.

Passo 9

Vamos primeiro entender a região de integração. O y varia de 0 a 4, e para cada y, x varia de y2 até 2. Isso significa que estamos integrando sobre uma região onde x está entre uma linha inclinada (x = y/2) e a linha vertical x = 2.

Passo 10

Olha só, a função e^x^2 não tem uma antiderivada que pode ser expressa com funções elementares. Isso significa que não conseguimos integrar e^x^2 em termos de funções básicas como polinômios, exponenciais, senos, etc.

Passo 11

Mas, podemos usar o conceito de função erro (erf) para expressar a integral de e^x^2. A função erro é uma função especial definida por:
erf(x) = 2raizpi integral0^x e^-t^2 dt
No nosso caso, a integral é diferente, mas ainda assim, expressamos a integral em termos de funções conhecidas ou deixamos na forma de integral definida.

Passo 12

Então, para resolver a integral interna:
integraly / 2^2 e^x^2 , dx
Não podemos simplificar mais, então deixamos assim ou expressamos em termos de funções especiais.

Passo 13

Agora, a integral completa fica:
integral0^4 ( integraly / 2^2 e^x^2 , dx ) dy
Como não podemos integrar e^x^2 facilmente, podemos trocar a ordem de integração para facilitar.

Passo 14

Vamos trocar a ordem de integração. Originalmente, y vai de 0 a 4, e para cada y, x vai de y/2 a 2. Se trocarmos, x varia de 0 a 2, e para cada x, y varia de 0 a 2x.

Passo 15

Então, a integral fica:
integral0^2 integral0^2x e^x^2 , dy, dx
Agora, a integral interna em relação a y é simples:
integral0^2x e^x^2 , dy = e^x^2 cdot y |0^2x = 2x e^x^2

Passo 16

Agora, nossa integral reduz para:
integral0^2 2x e^x^2 , dx
Essa integral é mais amigável. Reconhecemos a forma de uma integral de uma função composta.

Passo 17

Vamos fazer uma substituição simples:
Seja u = x^2, então du = 2x dx. Isso significa que:
integral 2x e^x^2 , dx = integral e^u , du = e^u + C = e^x^2 + C

Passo 18

Aplicando os limites de integração:
[ e^x^2 ]0^2 = e^4 - e^0 = e^4 - 1

Passo 19

Vamos para a terceira integral:
integral0^1 integralarctan y^pi4 sec^5 x , dx, dy
Mais uma vez, temos uma integral dupla. A função dentro da integral é sec^5 x, que também pode ser um pouco complicada, mas vamos lá.

Passo 20

Primeiro, vamos entender a região de integração. O y varia de 0 a 1, e para cada y, x varia de arctan y até pi4. Isso significa que estamos integrando sobre uma região onde x está entre a função arctan y e a constante pi4.

Passo 21

Vamos resolver a integral interna em relação a x:
integralarctan y^pi4 sec^5 x , dx
Para integrar sec^5 x, podemos usar uma técnica de redução.

Passo 22

Sabemos que:
integral sec^n x , dx = sec^n-2 x tan xn-1 + n-2n-1 integral sec^n-2 x , dx
Aplicando isso para n=5:
integral sec^5 x , dx = sec^3 x tan x4 + 34 integral sec^3 x , dx
E sabemos que:
integral sec^3 x , dx = sec x tan x2 + 12 ln |sec x + tan x| | + C

Passo 23

Então, substituindo de volta:
integral sec^5 x , dx = sec^3 x tan x4 + 34 ( sec x tan x2 + 12 ln |sec x + tan x| ) + C
Simplificando:
sec^3 x tan x4 + 3 sec x tan x8 + 38 ln |sec x + tan x| + C

Passo 24

Agora, aplicando os limites de integração de arctan y a pi4:
[ sec^3 x tan x4 + 3 sec x tan x8 + 38 ln |sec x + tan x| ]arctan y^pi4

Passo 25

Calculando em x = pi4:
Sabemos que sec pi4 = raiz2 e tan pi4 = 1.
Então:
(raiz2)^3 cdot 14 + 3 raiz2 cdot 18 + 38 ln |raiz2 + 1|
Simplificando:
2raiz24 + 3raiz28 + 38 ln (raiz2 + 1) = raiz22 + 3raiz28 + 38 ln (raiz2 + 1)
= 4raiz2 + 3raiz28 + 38 ln (raiz2 + 1) = 7raiz28 + 38 ln (raiz2 + 1)

Passo 26

Calculando em x = arctan y:
Sabemos que se x = arctan y, então tan x = y e sec x = raiz1 + y^2.
Então:
(raiz1 + y^2)^3 cdot y4 + 3 raiz1 + y^2 cdot y8 + 38 ln |raiz1 + y^2 + y|
Simplificando:
(1 + y^2)^3/2 y4 + 3(1 + y^2)^1/2 y8 + 38 ln (raiz1 + y^2 + y)

Passo 27

Agora, a integral em relação a y fica:
integral0^1 [ ( 7raiz28 + 38 ln (raiz2 + 1) ) - ( (1 + y^2)^3/2 y4 + 3(1 + y^2)^1/2 y8 + 38 ln (raiz1 + y^2 + y) ) ] dy
Essa integral é bastante complexa e, em geral, não possui uma antiderivada simples. Portanto, a melhor abordagem aqui seria usar métodos numéricos para avaliar a integral.

Resposta

A integral dupla pode ser expressa como:
integral0^1 ( 7raiz28 + 38 ln (raiz2 + 1) - (1 + y^2)^3/2 y4 - 3(1 + y^2)^1/2 y8 - 38 ln (raiz1 + y^2 + y) ) dy
Para obter um valor numérico, seria necessário utilizar métodos de integração numérica.

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