Encontre a integral de superfície , sendo através do cilindro parabólico cuja parametrização é dada por , na direção indicada na figura. Resp: 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície da função vetorial sobre um cilindro parabólico parametrizado por , onde e . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar superfícies, encontrar vetores normais e calcular integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de superfície envolve o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal à superfície , multiplicado pela área diferencial . Nosso objetivo é parametrizar essa superfície e encontrar .
Passo 3
A parametrização já foi dada: . Para encontrar o vetor normal , precisamos calcular os vetores tangentes nas direções e .
Passo 4
Calculando as derivadas parciais em relação a e :
Passo 5
Agora, encontramos o vetor normal fazendo o produto vetorial dos vetores tangentes:
Passo 6
Vamos substituir a parametrização na função f(r(u, v)) = (y z, x, -z^2) = (u^2 v, u, -v^2) :
Passo 7
Calculamos o produto escalar f cdot n = (u^2 v)(2u) + (u)(-1) + (-v^2)(0) = 2u^3 v - u :
Passo 8
A integral de superfície fica então:
integral duplasigma f cdot n , dS = integral0^1 integral0^4 (2u^3 v - u) , dv , du
Passo 9
Vamos integrar em relação a integral0^4 (2u^3 v - u) , dv = 2u^3 cdot v^22 g|0^4 - u cdot v g|0^4 = u^3 cdot 16 - u cdot 4 = 16u^3 - 4u primeiro:
Passo 10
Agora, integramos em relação a integral0^1 (16u^3 - 4u) , du = 16 cdot u^44 g|0^1 - 4 cdot u^22 g|0^1 = 16 cdot 14 - 4 cdot 12 = 4 - 2 = 2 :