Encontre a integral de superfície integral duplasigma f cdot n d S, sendo f(x, y, z)=(y z, x,-z^2) através do cilindro parabólico cuja parametrização é dada por r(u, v)=(u, u^2, v), 0 <= u <= 1, 0 <= v <= 4 na direção n indicada na figura. Resp: 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície da função vetorial sobre um cilindro parabólico parametrizado por , onde e . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar superfícies, encontrar vetores normais e calcular integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de superfície envolve o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal à superfície , multiplicado pela área diferencial . Nosso objetivo é parametrizar essa superfície e encontrar .

Passo 3

A parametrização já foi dada: . Para encontrar o vetor normal , precisamos calcular os vetores tangentes nas direções e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais em relação a ru = partial rpartial u = (1, 2u, 0) e rv = partial rpartial v = (0, 0, 1) :

Passo 5

Agora, encontramos o vetor normal n = ru times rv = i & j & k 1 & 2u & 0 0 & 0 & 1 = (2u, -1, 0) fazendo o produto vetorial dos vetores tangentes:

Passo 6

Vamos substituir a parametrização na função f(r(u, v)) = (y z, x, -z^2) = (u^2 v, u, -v^2) :

Passo 7

Calculamos o produto escalar f cdot n = (u^2 v)(2u) + (u)(-1) + (-v^2)(0) = 2u^3 v - u :

Passo 8

A integral de superfície fica então:
integral duplasigma f cdot n , dS = integral0^1 integral0^4 (2u^3 v - u) , dv , du

Passo 9

Vamos integrar em relação a integral0^4 (2u^3 v - u) , dv = 2u^3 cdot v^22 g|0^4 - u cdot v g|0^4 = u^3 cdot 16 - u cdot 4 = 16u^3 - 4u primeiro:

Passo 10

Agora, integramos em relação a integral0^1 (16u^3 - 4u) , du = 16 cdot u^44 g|0^1 - 4 cdot u^22 g|0^1 = 16 cdot 14 - 4 cdot 12 = 4 - 2 = 2 :

Resposta

A integral de superfície vale .

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