Encontre a integral de superfície , sendo através do cilindro parabólico cuja parametrização é dada por , na direção indicada na figura. Resp: 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície da função vetorial sobre um cilindro parabólico parametrizado por , onde e . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar superfícies, encontrar vetores normais e calcular integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de superfície envolve o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal à superfície , multiplicado pela área diferencial . Nosso objetivo é parametrizar essa superfície e encontrar .

Passo 3

A parametrização já foi dada: . Para encontrar o vetor normal , precisamos calcular os vetores tangentes nas direções e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais em relação a e :

Passo 5

Agora, encontramos o vetor normal fazendo o produto vetorial dos vetores tangentes:

Passo 6

Vamos substituir a parametrização na função :

Passo 7

Calculamos o produto escalar :

Passo 8

A integral de superfície fica então:

Passo 9

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 10

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral de superfície vale .

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Encontre o fluxo do campo vetorial para fora (normal para longe do eixo através da superfície cortada do cilindro parabólico pelos planos e . Resp: -32
Integre sobre a porção do gráfico acima do triângulo no plano tendo vértices e . Resp:
Use, se possível, o Teorema da Condição Necessária para decidir se as séries convergem ou divergem: .
Determine os pontos do gráfico de mais próximo da origem.