A intensidade na qual a condição na extremidade afeta o desempenho térmico de uma aleta depende da geometria da aleta e de sua condutividade térmica, assim como do coeficiente convectivo. Considere uma aleta retangular de uma liga de alumínio (k=180 W /(m cdot K) ), com comprimento L=10 mm, espessura t =1 mm e largura w gg t. A temperatura da base da aleta é Tb= 100^circ Ce ela está exposta a um fluido com temperatura Tinfty=25^circ C.
(b) Explore o efeito de variações no coeficiente convectivo na taxa de transferência de calor para 10. Também considere o efeito de tais variações para uma aleta de aço inoxidável (k=15 W /(m cdot K)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre como a geometria de uma aleta e suas propriedades térmicas influenciam a transferência de calor quando a condição na extremidade muda. A matéria que estamos lidando aqui é transferência de calor por condução e convecção. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas que relacionam o coeficiente convectivo, a condutividade térmica dos materiais, e as dimensões da aleta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros que temos:
  • Condutividade térmica (k): Para o alumínio, e para o aço inoxidável, .
  • Comprimento da aleta (L): .
  • Espessura da aleta (t): .
  • Temperatura da base ( ): .
  • Temperatura do fluido ( ): .
  • Coeficiente convectivo (h): Varia de a .

Passo 3

A taxa de transferência de calor ( Q = raizh cdot P cdot k cdot Ac cdot (Tb - Tinfty) ) em uma aleta pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
onde:
  • h: Coeficiente convectivo.
  • P: Perímetro da seção transversal da aleta.
  • k: Condutividade térmica do material.
  • A_c: Área da seção transversal da aleta.
  • : Diferença de temperatura entre a base e o fluido.

Passo 4

Vamos calcular P = 2(w + t) approx 2w e Ac = w cdot t . Como a largura Q = raizh cdot 2w cdot k cdot w cdot t cdot (Tb - Tinfty) = raiz2hkw^2t cdot (Tb - Tinfty) é muito maior que a espessura Q = w cdot raiz2hk t cdot (Tb - Tinfty) , podemos simplificar:
Ao substituir e na fórmula de :
Observamos que a largura aparece dentro da raiz quadrada e está elevada ao quadrado, então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a taxa de transferência de calor para diferentes valores de Q = 1 cdot raiz2 cdot h cdot 180 cdot 0,001 cdot 75 e para os dois materiais:
Para simplificar, vamos considerar Q = raiz0,36h cdot 75 = 0,6raizh cdot 75 = 45raizh , W (como uma referência).
Primeiro, calculamos Q = 1 cdot raiz2 cdot h cdot 15 cdot 0,001 cdot 75 .
Para o Alumínio ( Q = raiz0,03h cdot 75 approx 0,1732raizh cdot 75 approx 12,99raizh , W ):
Para o Aço Inoxidável ( ):

Passo 6

Vamos agora calcular Q = 45 cdot raiz10 approx 45 cdot 3,162 = 142,29 , W para diferentes valores de Q = 45 cdot raiz100 = 45 cdot 10 = 450 , W :
Para Alumínio:
  • Q = 45 cdot raiz1000 approx 45 cdot 31,623 = 1422,89 , W :
    Q approx 12,99 cdot raiz10 approx 12,99 cdot 3,162 = 41,14 , W
  • Q approx 12,99 cdot raiz100 = 12,99 cdot 10 = 129,9 , W :
    Q approx 12,99 cdot raiz1000 approx 12,99 cdot 31,623 = 410,88 , W
  • :
Para Aço Inoxidável:
  • :
  • :
  • :

Resposta

Para uma aleta com largura de :
  • Alumínio:
    • :
    • :
    • :
  • Aço Inoxidável:
    • :
    • :
    • :
Isso mostra que, conforme o coeficiente convectivo aumenta, a taxa de transferência de calor também aumenta, tanto para o alumínio quanto para o aço inoxidável. Além disso, o alumínio, tendo maior condutividade térmica, transfere mais calor comparado ao aço inoxidável para os mesmos valores de .

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