A intensidade na qual a condição na extremidade afeta o desempenho térmico de uma aleta depende da geometria da aleta e de sua condutividade térmica, assim como do coeficiente convectivo. Considere uma aleta retangular de uma liga de alumínio (k=180 W /(m cdot K)), cuja temperatura da base da aleta é Tb= 100^circ C. A aleta está exposta a um fluido com temperatura Tinfty=25^circ C e um coeficiente convectivo uniforme h=100 W / (m^2 cdot K) pode ser admitido na superfície da aleta.
(b) Explore o efeito de variações em L na taxa de transferência de calor para 3. Também considere o efeito de tais variações para uma aleta de aço inoxidável (k=15 W /(m cdot K)).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma aleta retangular feita de duas ligas diferentes: alumínio e aço inoxidável. A temperatura na base da aleta é de 100°C, e ela está exposta a um fluido a 25°C. Queremos ver como a variação do comprimento da aleta entre 3 mm e 50 mm afeta a taxa de transferência de calor. Para isso, vamos usar conceitos de condução e convecção de calor.

Passo 2

Vamos começar lembrando a fórmula básica para a taxa de transferência de calor em uma aleta. A taxa de calor Q = raizh cdot k cdot Ac cdot (Tb - Tinfty) cdot tanh ( raizh cdot kAc cdot L ) pode ser calculada usando:
onde:
  • é o coeficiente convectivo,
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área de condução,
  • é a temperatura na base da aleta,
  • é a temperatura do fluido,
  • é o comprimento da aleta.

Passo 3

No nosso caso, como a aleta é retangular, a área de condução Q = raizh cdot k cdot L cdot (Tb - Tinfty) cdot tanh ( raizh cdot kL ) pode ser simplificada dependendo das dimensões da aleta. Para simplificação, podemos assumir que a área de condução é proporcional ao comprimento . Portanto, a fórmula para simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores fornecidos na questão. Temos:
  • para alumínio
  • para aço inoxidável
Vamos calcular para diferentes valores de entre 3 mm e 50 mm para ambos os materiais.

Passo 5

Primeiro, vamos converter Q = raiz100 cdot 180 cdot L cdot (100 - 25) cdot tanh ( raiz100 cdot 180L ) de milímetros para metros: Q = raiz100 cdot 15 cdot L cdot (100 - 25) cdot tanh ( raiz100 cdot 15L ) e .
Para alumínio ( ):
Para aço inoxidável ( ):

Passo 6

Calculando para QAl = raiz100 cdot 180 cdot 0.003 cdot 75 cdot tanh ( raiz100 cdot 1800.003 ) (3 mm):
Para alumínio:
QAço = raiz100 cdot 15 cdot 0.003 cdot 75 cdot tanh ( raiz100 cdot 150.003 )
Para aço inoxidável:
QAl approx raiz54 cdot 75 approx 7.35 cdot 75 approx 551.25 , W ç
Observando que QAço approx raiz4.5 cdot 75 approx 2.12 cdot 75 approx 159 , W de um número muito grande tende a 1, podemos simplificar:
Para alumínio:
Para aço inoxidável:
ç

Passo 7

Calculando para QAl = raiz100 cdot 180 cdot 0.05 cdot 75 cdot tanh ( raiz100 cdot 1800.05 ) (50 mm):
Para alumínio:
QAço = raiz100 cdot 15 cdot 0.05 cdot 75 cdot tanh ( raiz100 cdot 150.05 )
Para aço inoxidável:
QAl approx raiz900 cdot 75 approx 30 cdot 75 approx 2250 , W ç
Novamente, QAço approx raiz75 cdot 75 approx 8.66 cdot 75 approx 649.5 , W de um número grande é aproximadamente 1:
Para alumínio:
Para aço inoxid��vel:
ç

Passo 8

Analisando os resultados, vemos que para o alumínio, que tem maior condutividade térmica, a taxa de transferência de calor aumenta significativamente conforme aumenta de 3 mm para 50 mm. Já para o aço inoxidável, com menor condutividade térmica, o aumento da taxa de transferência de calor também acontece, mas de forma menos expressiva.

Resposta

À medida que o comprimento da aleta aumenta de 3 mm para 50 mm, a taxa de transferência de calor aumenta de aproximadamente 551 W para 2250 W para a aleta de alumínio e de cerca de 159 W para 649.5 W para a aleta de aço inoxidável. Isso mostra que a aleta de alumínio, devido à sua maior condutividade térmica, é mais eficiente na transferência de calor conforme aumenta, em comparação com a aleta de aço inoxidável.

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