O proprietário de uma casa resolveu fazer o acabamento interno do salão de festas com mármore branco
). As paredes do salão, de tijolo de alvenaria (
), de 20 cm de espessura, medem
(altura) e o teto está bem isolado. A temperatura interna do salão será mantida a
, com coeficiente de película de
, através de ar condicionado. Em um dia de sol intenso a temperatura do ar externo chega a
com coeficiente de película de
. Sabendo que a temperatura da interface tijolo/mármore é
, pedese:
as temperaturas das faces interna do mármore e externa do tijolo;
as temperaturas das faces interna do mármore e externa do tijolo;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre transferência de calor em um salão de festas. A gente vai trabalhar com conceitos de condução de calor e convecção térmica. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Fourier para condução e as leis de resfriamento de Newton para convecção. O objetivo aqui é encontrar as temperaturas na face interna do mármore e na face externa do tijolo, sabendo que a interface tijolo/mármore está a 24°C.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho que o calor está fazendo. O calor está passando por:
- Convecção interna: do ar condicionado para a face interna do mármore.
- Condução no mármore.
- Condução no tijolo.
- Convecção externa: da face externa do tijolo para o ambiente externo.
Como estamos em regime estacionário (a temperatura não está mudando com o tempo), a quantidade de calor que passa por cada uma dessas etapas é a mesma.
Passo 3
Vamos definir as resistências térmicas para cada etapa:
-
Resistência à convecção interna:
-
Resistência à condução no mármore:
-
Resistência à condução no tijolo:
-
Resistência à convecção externa:
Onde:
-
-
-
-
-
(espessura) -
é a área total da parede, mas como ela será cancelada nas equações, podemos deixar assim por enquanto.
Passo 4
Sabemos que a soma das resistências térmicas é igual à diferença de temperatura dividida pelo fluxo de calor:
Como a interface tijolo/mármore está a
, podemos separar o problema em duas partes:
- Do ar condicionado para a interface: Convecção interna + Condução no mármore.
- Da interface para o ambiente externo: Condução no tijolo + Convecção externa.
Passo 5
Vamos chamar:
-
: temperatura na face interna do mármore. -
: temperatura na face externa do tijolo.
Sabemos que:
e
Mas como o fluxo de calor
é o mesmo nas duas partes, podemos relacionar as equações.
Passo 6
Vamos calcular cada resistência térmica:
-
Convecção interna:
-
Condução no mármore:
-
Condução no tijolo:
-
Convecção externa:
Passo 7
Como as áreas
se cancelam, podemos simplificar as resistências:
Passo 8
Agora, relacionamos as diferenças de temperatura com as resistências:
-
Do ar condicionado para a interface:
-
Da interface para o ambiente externo:
Parece que houve uma inconsistência nos cálculos. Vamos ajustar.
Passo 9
Vamos reconsiderar as equações:
-
Do ar condicionado para a interface:
-
Da interface para o ambiente externo:
Ainda não bate. Talvez precisemos reconsiderar se o fluxo de calor é realmente o mesmo ou se há outra abordagem.
Passo 10
Vamos simplificar usando a condição de que em regime estacionário, o fluxo de calor é contínuo. Vamos somar as resistências e usar a diferença total de temperatura.
A resistência total é:
Então,
Passo 11
Agora, para encontrar as temperaturas nas interfaces:
-
Interface mármore/tijolo:
-
Temperatura da face externa do tijolo:
Resposta
As temperaturas são aproximadamente 25,81°C na face interna do mármore e 40°C na face externa do tijolo.