A intensidade da radiação eletromagnética que atravessa uma dada superfície é definida por I=lang<= Srang<= cos theta, onde lang<= Srang<= é o valor médio do módulo do vetor de Poynting associado à radiação e theta é o ângulo formado entre o vetor de Poynting e a normal à superfície. Mostre que se uma onda plana incide sobre uma superfície hemisférica de raio R, a potência sobre a superfície é dada por P=lang<= Srang<=(pi R^2).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma onda eletromagnética chegando numa superfície hemisférica de raio . A intensidade da radiação que atravessa essa superfície é dada por , onde é o valor médio do módulo do vetor de Poynting (que representa a direção e a intensidade da energia que a onda transporta) e é o ângulo entre esse vetor e a normal à superfície. Nosso objetivo é mostrar que a potência total sobre a superfície hemisférica é .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores de Poynting, intensidade da radiação, e integração sobre áreas em coordenadas esféricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a potência P = integral I , dA que atravessa uma superfície é obtida integrando a intensidade sobre toda a área dessa superfície. Matemáticamente, isso é:
Aqui, é um elemento infinitesimal da área da superfície.

Passo 3

Sabemos que a intensidade I = lang<= S rang<= cos theta é dada por:
P = integral lang<= S rang<= cos theta , dA
Substituindo isso na equação da potência, temos:
P = lang<= S rang<= integral cos theta , dA
Como é uma constante (é o valor médio do vetor de Poynting), podemos tirá-lo da integral:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dA = R^2 sin phi , dphi , dtheta sobre a superfície hemisférica. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, onde a área de um elemento na hemisférica é dada por:
Aqui, é o ângulo polar (medido a partir do eixo ) e é o ângulo azimutal.

Passo 5

Na nossa situação, o vetor de Poynting está fixo numa direção, digamos, alinhado com o eixo integral cos phi , dA = integral0^2pi integral0^pi/2 cos phi cdot R^2 sin phi , dphi , dtheta . Portanto, o ângulo na expressão corresponde ao ângulo entre o vetor de Poynting e a normal à superfície, que em coordenadas esféricas é o próprio ângulo .
Então, podemos reescrever a integral como:
Aqui, é o limite superior para porque estamos trabalhando com uma hemisfério.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em integral0^pi/2 cos phi cdot sin phi , dphi :
integral0^1 u , du = u^22 |0^1 = 12
Podemos simplificar isso usando uma substituição. Seja , então . Quando , , e quando , . Assim, a integral se torna:

Passo 7

Agora, a integral completa fica:
integral cos phi , dA = R^2 cdot 12 cdot integral0^2pi dtheta = R^2 cdot 12 cdot 2pi = pi R^2

Passo 8

Voltando à expressão da potência:
P = lang<= S rang<= cdot pi R^2

Resposta

A potência sobre a superfície hemisférica é .

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