Uma esfera dielétrica maciça, de raio , está uniformemente carregada com uma carga total . Calcule a densidade de energia do campo elétrico em um ponto situado a uma distância do centro da esfera para (a) e (b) . © Calcule a energia total armazenada no campo elétrico associado com a esfera carregada.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Eletrostática que envolve o cálculo da densidade de energia do campo elétrico em uma esfera dielétrica uniformemente carregada. O problema pede para calcular essa densidade em pontos dentro ( ) e fora ( ) da esfera, além de encontrar a energia total armazenada no campo elétrico. Vamos precisar usar as leis de Gauss para encontrar o campo elétrico e a fórmula da densidade de energia elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico para e usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
onde é a carga encerrada pela superfície gaussiana.

Passo 3

Para , a carga encerrada é proporcional ao volume da esfera de raio :
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 4

Para , toda a carga está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos calcular a densidade de energia do campo elétrico usando a fórmula:
Para :
Para :

Passo 6

Por fim, para encontrar a energia total armazenada no campo elétrico, integramos a densidade de energia sobre todo o espaço. Dividiremos a integral em duas partes: de a e de ao infinito.
Calculando as integrais:

Resposta

A densidade de energia do campo elétrico na esfera é:
a) Para :
b) Para :
c) A energia total armazenada no campo elétrico é:

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