Uma esfera dielétrica maciça, de raio
, está uniformemente carregada com uma carga total
. Calcule a densidade de energia do campo elétrico em um ponto situado a uma distância
do centro da esfera para (a)
e (b)
. © Calcule a energia total armazenada no campo elétrico associado com a esfera carregada.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Eletrostática que envolve o cálculo da densidade de energia do campo elétrico em uma esfera dielétrica uniformemente carregada. O problema pede para calcular essa densidade em pontos dentro (
) e fora (
) da esfera, além de encontrar a energia total armazenada no campo elétrico. Vamos precisar usar as leis de Gauss para encontrar o campo elétrico e a fórmula da densidade de energia elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico
para
e
usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
onde
é a carga encerrada pela superfície gaussiana.
Passo 3
Para
, a carga encerrada
é proporcional ao volume da esfera de raio
:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 4
Para
, toda a carga
está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a densidade de energia do campo elétrico
usando a fórmula:
Para
:
Para
:
Passo 6
Por fim, para encontrar a energia total armazenada no campo elétrico, integramos a densidade de energia sobre todo o espaço. Dividiremos a integral em duas partes: de
a
e de
ao infinito.
Calculando as integrais:
Resposta
A densidade de energia do campo elétrico na esfera é:
a) Para
:
b) Para
:
c) A energia total armazenada no campo elétrico é: