Uma esfera dielétrica maciça, de raio R, está uniformemente carregada com uma carga total Q. Calcule a densidade de energia do campo elétrico em um ponto situado a uma distância r do centro da esfera para (a) r e (b) r>R. © Calcule a energia total armazenada no campo elétrico associado com a esfera carregada.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Eletrostática que envolve o cálculo da densidade de energia do campo elétrico em uma esfera dielétrica uniformemente carregada. O problema pede para calcular essa densidade em pontos dentro ( r < R) e fora ( r > R) da esfera, além de encontrar a energia total armazenada no campo elétrico. Vamos precisar usar as leis de Gauss para encontrar o campo elétrico e a fórmula da densidade de energia elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico E para r < R e r > R usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qencepsilon0
onde Qenc é a carga encerrada pela superfície gaussiana.

Passo 3

Para r < R, a carga encerrada Qenc é proporcional ao volume da esfera de raio r:
Qenc = Q (r^3R^3)
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Q (r^3R^3)epsilon0
Resolvendo para E:
E = Q r4pi epsilon0 R^3

Passo 4

Para r > R, toda a carga Q está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Qepsilon0
Resolvendo para E:
E = Q4pi epsilon0 r^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a densidade de energia do campo elétrico u usando a fórmula:
u = 12 epsilon0 E^2
Para r < R:
u = 12 epsilon0 ( Q r4pi epsilon0 R^3 )^2 = Q^2 r^232 pi^2 epsilon0 R^6
Para r > R:
u = 12 epsilon0 ( Q4pi epsilon0 r^2 )^2 = Q^232 pi^2 epsilon0 r^4

Passo 6

Por fim, para encontrar a energia total armazenada no campo elétrico, integramos a densidade de energia sobre todo o espaço. Dividiremos a integral em duas partes: de 0 a R e de R ao infinito.
U = integral0^R Q^2 r^232 pi^2 epsilon0 R^6 cdot 4pi r^2 dr + integralR^infty Q^232 pi^2 epsilon0 r^4 cdot 4pi r^2 dr
Calculando as integrais:
U = Q^28 pi epsilon0 R^6 integral0^R r^4 dr + Q^28 pi epsilon0 integralR^infty 1r^2 dr
U = Q^28 pi epsilon0 R^6 ( R^55 ) + Q^28 pi epsilon0 ( 1R )
U = Q^240 pi epsilon0 R + Q^28 pi epsilon0 R = Q^240 pi epsilon0 R + 5Q^240 pi epsilon0 R = 6Q^240 pi epsilon0 R = 3Q^220 pi epsilon0 R

Resposta

A densidade de energia do campo elétrico na esfera é:
a) Para r < R:
u = Q^2 r^232 pi^2 epsilon0 R^6
b) Para r > R:
u = Q^232 pi^2 epsilon0 r^4
c) A energia total armazenada no campo elétrico é:
U = 3Q^220 pi epsilon0 R

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