De toda a energia eletromagnética no universo, de longe a maior quantidade é na forma de ondas com comprimentos de onda na faixa milimétrica. Esta é a radiação cósmica de fundo de microondas descoberta por Penzias e Wilson em 1965. Ele aparentemente preenche todo o espaço, incluindo o vasto espaço entre galáxias, com uma densidade de energia média de 4,0 times 10^-14 J / m^3. (a) Calcule a intensidade do campo elétrico rms nesta radiação. (b) Aproximadamente, a que distância de um transmissor de rádio de 1 kW você encontrará uma intensidade de onda eletromagnética comparável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a energia eletromagnética no universo, especificamente a radiação cósmica de fundo de microondas. A gente precisa resolver duas partes:
(a) Calcular a intensidade do campo elétrico RMS dessa radiação.
(b) Descobrir a que distância de um transmissor de rádio de 1 kW teríamos uma intensidade de onda eletromagnética semelhante.
Vamos usar conceitos de campos elétricos, intensidade de ondas eletromagnéticas e a relação entre potência, intensidade e distância.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). A intensidade da radiação eletromagnética está relacionada com o campo elétrico através da seguinte fórmula:
I = Erms^2Z
Onde:
  • Erms = raizI times Z é a intensidade,
  • I = u times c é o valor eficaz (RMS) do campo elétrico,
  • é a impedância do vácuo, que vale aproximadamente .
Queremos encontrar , então vamos rearranjar a fórmula:
Sabemos que a densidade de energia média é . A intensidade está relacionada à densidade de energia pela relação:
Onde é a velocidade da luz, .

Passo 3

Vamos calcular I = 4,0 times 10^-14 , J/m^3 times 3,0 times 10^8 , m/s :
I = 1,2 times 10^-5 , W/m^2
Erms = raiz1,2 times 10^-5 , W/m^2 times 377 , Omega
Agora, substituindo na fórmula do :

Passo 4

Vamos calcular o valor dentro da raiz:
1,2 times 10^-5 times 377 approx 4,524 times 10^-3
Agora, tirando a raiz quadrada:
Erms = raiz4,524 times 10^-3
Erms approx 6,73 times 10^-2 , V/m

Passo 5

Agora, para a parte (b), queremos saber a que distância I = P4pi r^2 de um transmissor de 1 kW r = raizP4pi I teríamos uma intensidade igual a .
A intensidade de uma onda que se propaga isotropicamente (em todas as direções) é dada por:
Queremos resolver para :

Passo 6

Substituindo os valores:
r = raiz1000 , W4pi times 1,2 times 10^-5 , W/m^2
Calculando o denominador:
4pi times 1,2 times 10^-5 approx 1,507 times 10^-4
Agora:
r = raiz10001,507 times 10^-4
r = raiz6,637 times 10^6
r approx 2575 , m

Resposta

(a) A intensidade do campo elétrico RMS na radiação é aproximadamente .
(b) A uma distância de cerca de 2575 metros de um transmissor de rádio de 1 kW, a intensidade da onda eletromagnética é comparável à da radiação cósmica de fundo de microondas.

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