Uma taça em repouso na origem de um sistema de coordenadas x y explode em três pedaços. Logo depois da explosão, um dos pedaços, de massa m, está se movendo com velocidade (-30 m / s) i e um segundo pedaço, também de massa m, está se movendo com velocidade (-30 m / s) j. Determine a orientação da velocidade do terceiro pedaço logo após a explosão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma taça que estava parada na origem de um sistema de coordenadas e que explodiu em três pedaços. Depois da explosão, um pedaço de massa vai na direção no eixo ( ) e outro pedaço, também de massa , vai na direção no eixo ( ). A pergunta é: pra onde o terceiro pedaço está se movendo logo depois da explosão? Vamos usar a Lei da Conservação do Momento Linear pra descobrir isso. Vamos precisar entender como os momentos dos pedaços se equilibram para manter o sistema em repouso inicialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento linear. O momento ( p = m cdot v ) de um objeto é dado por:
onde é a massa e é a velocidade.

Passo 3

Como a taça estava em repouso antes da explosão, o momento total inicial do sistema era zero:
pinicial = 0

Passo 4

Após a explosão, o momento total do sistema também deve ser zero (porque não tem forças externas agindo). Então, a soma dos momentos dos três pedaços deve ser igual a zero:
p1 + p2 + p3 = 0

Passo 5

Vamos calcular os momentos dos dois primeiros pedaços. O primeiro pedaço tem velocidade p1 = m cdot (-30 m/s i) = -30m i kg cdot m/s no eixo p2 = m cdot (-30 m/s j) = -30m j kg cdot m/s :
O segundo pedaço tem velocidade no eixo :

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na equação da conservação do momento:
-30m i + (-30m j) + p3 = 0

Passo 7

Vamos isolar o momento do terceiro pedaço ( p3 = 30m i + 30m j ):
Isso significa que o momento do terceiro pedaço tem componentes positivas nos eixos e .

Passo 8

Como v3 = p3m = 30 m/s i + 30 m/s j , podemos encontrar a velocidade do terceiro pedaço dividindo o momento pela massa:

Passo 9

Agora, vamos descobrir a direção dessa velocidade. A velocidade tan(theta) = 3030 = 1 Rightarrow theta = 45^circ tem componentes iguais nos eixos e , então o ângulo que ela forma com o eixo pode ser encontrado usando a tangente:

Resposta

O terceiro pedaço está se movendo na direção de em relação aos eixos e .

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