A interpretação por colunas do problema 7 (sistema singular) é:
u[l 1 1 0 ]+v[l 1 2 1 ]+w[l 1 3 2 ]=b
Mostre que as três colunas do lado esquerdo se localizam no mesmo plano, expressando a terceira coluna como uma combinação das duas primeiras. Quais serão todas as soluções (u, v, w), se b for o vetor zero (0,0,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações onde três vetores são combinados com coeficientes u[l 1 1 0 ] + v[l 1 2 1 ] + w[l 1 3 2 ] = b , e para formar um outro vetor . A equação é:
O objetivo aqui é mostrar que essas três colunas (ou vetores) estão no mesmo plano, ou seja, que a terceira coluna pode ser escrita como uma combinação das duas primeiras. Além disso, vamos descobrir todas as soluções para quando for o vetor zero . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que as três colunas estão no mesmo plano. Se a terceira coluna pode ser escrita como uma combinação das duas primeiras, isso quer dizer que existe algum número [l 1 3 2 ] = k [l 1 1 0 ] + m [l 1 2 1 ] e tais que:
Vamos resolver essa equação para encontrar e .

Passo 3

Desenvolvendo a combinação linear:
[l 1 3 2 ] = [l k + m k + 2m 0 + m ]
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

A partir da terceira equação já sabemos que k + 2 = 1 Rightarrow k = -1 . Substituindo esse valor na primeira equação:
[l 1 3 2 ] = -1 [l 1 1 0 ] + 2 [l 1 2 1 ]
Então, e . Isso significa que:
Portanto, a terceira coluna é uma combinação das duas primeiras, confirmando que elas estão no mesmo plano.

Passo 5

Agora, vamos encontrar todas as soluções l 0 0 0 quando u[l 1 1 0 ] + v[l 1 2 1 ] + w[l 1 3 2 ] = [l 0 0 0 ] . Substituindo na equação original:
Como já sabemos que a terceira coluna é uma combinação das duas primeiras, podemos substituir na equação.

Passo 6

Sabemos que:
w = -k + 2m
Mas na nossa combinação anterior, w = -(-1) + 2 times 2 = 1 + 4 = 5 e , então:
Entretanto, para o sistema homogêneo , ajustamos os coeficientes para que a combinação resulte em zero.

Passo 7

Usando a combinação linear para o sistema homogêneo:
u [l 1 1 0 ] + v [l 1 2 1 ] + w [l 1 3 2 ] = [l 0 0 0 ]
Como:
[l 1 3 2 ] = -1 [l 1 1 0 ] + 2 [l 1 2 1 ]
Podemos substituir na equação:
u [l 1 1 0 ] + v [l 1 2 1 ] + w ( -1 [l 1 1 0 ] + 2 [l 1 2 1 ] ) = [l 0 0 0 ]
Simplificando:
(u - w) [l 1 1 0 ] + (v + 2w) [l 1 2 1 ] = [l 0 0 0 ]
Isso resulta em duas equações independentes:

Passo 8

Agora, temos que (u, v, w) = (w, -2w, w) e . Como pode ser qualquer valor real, podemos expressar as soluções em termos de :
Isso significa que todas as soluções são múltiplos do vetor .

Resposta

Todas as soluções são da forma , onde é qualquer número real.

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