A interpretação por colunas do problema 7 (sistema singular) é:
Mostre que as três colunas do lado esquerdo se localizam no mesmo plano, expressando a terceira coluna como uma combinação das duas primeiras. Quais serão todas as soluções (u, v, w), se b for o vetor zero (0,0,0) ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações onde três vetores são combinados com coeficientes u[l 1 1 0 ] + v[l 1 2 1 ] + w[l 1 3 2 ] = b , e para formar um outro vetor . A equação é:
O objetivo aqui é mostrar que essas três colunas (ou vetores) estão no mesmo plano, ou seja, que a terceira coluna pode ser escrita como uma combinação das duas primeiras. Além disso, vamos descobrir todas as soluções para quando for o vetor zero . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinação linear e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que as três colunas estão no mesmo plano. Se a terceira coluna pode ser escrita como uma combinação das duas primeiras, isso quer dizer que existe algum número [l 1 3 2 ] = k [l 1 1 0 ] + m [l 1 2 1 ] e tais que:
Vamos resolver essa equação para encontrar e .
Passo 3
Desenvolvendo a combinação linear:
[l 1 3 2 ] = [l k + m k + 2m 0 + m ]
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
A partir da terceira equação já sabemos que k + 2 = 1 Rightarrow k = -1 . Substituindo esse valor na primeira equação:
[l 1 3 2 ] = -1 [l 1 1 0 ] + 2 [l 1 2 1 ]
Então, e . Isso significa que:
Portanto, a terceira coluna é uma combinação das duas primeiras, confirmando que elas estão no mesmo plano.
Passo 5
Agora, vamos encontrar todas as soluções l 0 0 0 quando u[l 1 1 0 ] + v[l 1 2 1 ] + w[l 1 3 2 ] = [l 0 0 0 ] . Substituindo na equação original:
Como já sabemos que a terceira coluna é uma combinação das duas primeiras, podemos substituir na equação.
Passo 6
Sabemos que:
w = -k + 2m
Mas na nossa combinação anterior, w = -(-1) + 2 times 2 = 1 + 4 = 5 e , então:
Entretanto, para o sistema homogêneo , ajustamos os coeficientes para que a combinação resulte em zero.
Passo 7
Usando a combinação linear para o sistema homogêneo:
u [l 1 1 0 ] + v [l 1 2 1 ] + w [l 1 3 2 ] = [l 0 0 0 ]