Utilize o produto escalar para mostrar que
A=(-1,1,2), B=(-2,8,5) e C=(-4,3,1)
são vértices de um triângulo retângulo. Em seguida calcule a área desse triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o produto escalar (ou produto interno) para mostrar que os pontos , e formam um triângulo retângulo. Depois, vamos calcular a área desse triângulo. Para isso, vamos precisar saber como calcular vetores, produto escalar e a área de um triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que formam os lados do triângulo. Vamos calcular os vetores AB = B - A = (-2 - (-1), 8 - 1, 5 - 2) = (-1, 7, 3) , AC = C - A = (-4 - (-1), 3 - 1, 1 - 2) = (-3, 2, -1) e BC = C - B = (-4 - (-2), 3 - 8, 1 - 5) = (-2, -5, -4) .
Para encontrar o vetor entre dois pontos, subtraímos as coordenadas correspondentes:

Passo 3

Agora, vamos usar o produto escalar para verificar se algum par de vetores é perpendicular. O produto escalar entre dois vetores u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e AB cdot AC = (-1)(-3) + 7 cdot 2 + 3 cdot (-1) = 3 + 14 - 3 = 14 neq 0 é dado por:
AB cdot BC = (-1)(-2) + 7 cdot (-5) + 3 cdot (-4) = 2 - 35 - 12 = -45 neq 0
Se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares.
Vamos calcular:
AC cdot BC = (-3)(-2) + 2 cdot (-5) + (-1) cdot (-4) = 6 - 10 + 4 = 0
Viu só? O produto escalar entre e é zero, então esses dois vetores são perpendiculares.

Passo 4

Como e são perpendiculares, o triângulo é retângulo no vértice . Isso significa que os lados e são os catetos do triângulo.

Passo 5

Para calcular a área do triângulo, vamos precisar do comprimento dos catetos | u | = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 e | AC | = raiz(-3)^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz9 + 4 + 1 = raiz14 . A fórmula para o comprimento de um vetor | BC | = raiz(-2)^2 + (-5)^2 + (-4)^2 = raiz4 + 25 + 16 = raiz45 = 3raiz5 é:
Calculando:

Passo 6

A área de um triângulo retângulo é dada por:
Área = cateto1 times cateto22 Á
Então:
Área = raiz14 times 3raiz52 = 3raiz702 Á

Resposta

A área do triângulo é unidades de área.

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