Utilize o produto escalar para mostrar que
são vértices de um triângulo retângulo. Em seguida calcule a área desse triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o produto escalar (ou produto interno) para mostrar que os pontos
,
e
formam um triângulo retângulo. Depois, vamos calcular a área desse triângulo. Para isso, vamos precisar saber como calcular vetores, produto escalar e a área de um triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que formam os lados do triângulo. Vamos calcular os vetores
,
e
.
Para encontrar o vetor entre dois pontos, subtraímos as coordenadas correspondentes:
Passo 3
Agora, vamos usar o produto escalar para verificar se algum par de vetores é perpendicular. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares.
Vamos calcular:
Viu só? O produto escalar entre
e
é zero, então esses dois vetores são perpendiculares.
Passo 4
Como
e
são perpendiculares, o triângulo
é retângulo no vértice
. Isso significa que os lados
e
são os catetos do triângulo.
Passo 5
Para calcular a área do triângulo, vamos precisar do comprimento dos catetos
e
. A fórmula para o comprimento de um vetor
é:
Calculando:
Passo 6
A área de um triângulo retângulo é dada por:
Então:
Resposta
A área do triângulo
é
unidades de área.