Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=(4,1,3), v=(1,3,2) e w=(1,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um paralelepípedo formado pelos vetores u = (4,1,3), v = (1,3,2) e w = (1,2,1). Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o produto escalar e o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um paralelepípedo pode ser calculado usando o produto misto dos três vetores. O produto misto é obtido fazendo o produto escalar de um vetor com o produto vetorial dos outros dois. A fórmula fica assim:
V = |u cdot (v times w)|
Isso significa que a gente vai calcular o produto vetorial de v e w, depois fazer o produto escalar desse resultado com o vetor u, e por último, tirar o valor absoluto para garantir que o volume seja positivo.

Passo 3

Vamos começar calculando o produto vetorial de v e w. O produto vetorial de dois vetores (a,b,c) e (d,e,f) é dado por:
v times w = (bf - ce, cd - af, ae - bd)
Aplicando isso aos vetores v = (1,3,2) e w = (1,2,1):
v times w = (3 cdot 1 - 2 cdot 2, 2 cdot 1 - 1 cdot 1, 1 cdot 2 - 3 cdot 1) = (3 - 4, 2 - 1, 2 - 3) = (-1, 1, -1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar de u com o resultado do produto vetorial (v times w). O produto escalar de dois vetores (a,b,c) e (d,e,f) é:
u cdot (v times w) = a cdot d + b cdot e + c cdot f
Substituindo os valores:
u cdot (v times w) = 4 cdot (-1) + 1 cdot 1 + 3 cdot (-1) = -4 + 1 - 3 = -6

Passo 5

Por último, tiramos o valor absoluto desse resultado para encontrar o volume:
V = |-6| = 6

Resposta

O volume do paralelepípedo é 6 unidades cúbicas.

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