Em um plano cartesiano, sejam A=(0,0) e B=(2,1). Determine o ponto C deste plano de modo que o triângulo A B C seja retângulo em A e tenha ângulo de 30^circ no vértice B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um ponto no plano cartesiano de modo que o triângulo seja retângulo em e tenha um ângulo de no vértice . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, usando coordenadas para resolver o problema. Vamos precisar saber sobre ângulos, vetores e como calcular distâncias entre pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar os pontos que já temos: e . O triângulo é retângulo em , o que significa que os lados e são perpendiculares. Em termos de vetores, isso quer dizer que o produto escalar de e deve ser zero.

Passo 3

Calculando AB = B - A = (2-0, 1-0) = (2,1) :
Vamos chamar as coordenadas de de . Então, .

Passo 4

Para que AB cdot AC = 0 Rightarrow 2x + 1y = 0 e y = -2x sejam perpendiculares:
Isso simplifica para:
Então, qualquer ponto deve satisfazer essa relação entre e .

Passo 5

Agora, queremos que o ângulo no vértice BA = A - B = (-2, -1) seja de BC = C - B = (x - 2, y - 1) . Para isso, vamos usar a fórmula do cosseno para o ângulo entre dois vetores. Primeiro, vamos encontrar os vetores cos(theta) = BA cdot BC|BA| |BC| e :
A fórmula do cosseno é:
Sabemos que , então .

Passo 6

Vamos substituir na fórmula:
raiz32 = (-2)(x-2) + (-1)(y-1)raiz(-2)^2 + (-1)^2 cdot raiz(x-2)^2 + (y-1)^2
Simplificando:
raiz32 = -2x + 4 - y + 1raiz4 + 1 cdot raiz(x-2)^2 + (y-1)^2 = -2x - y + 5raiz5 cdot raiz(x-2)^2 + (y-1)^2
Lembrando que , vamos substituir isso na equação.

Passo 7

Substituindo raiz32 = -2x - (-2x) + 5raiz5 cdot raiz(x-2)^2 + (-2x-1)^2 = 0 + 5raiz5 cdot raiz(x-2)^2 + (4x^2 + 4x + 1) :
raiz32 = 5raiz5 cdot raiz4x^2 + 4x + 1 + x^2 - 4x + 4 = 5raiz5 cdot raiz5x^2 + 5 = 5raiz5 cdot raiz5(x^2 + 1)
Simplificando:
= 5raiz5 cdot raiz5 cdot raizx^2 + 1 = 55 raizx^2 + 1 = 1raizx^2 + 1

Passo 8

Agora, igualamos as duas expressões:
raiz32 = 1raizx^2 + 1
Invertendo os dois lados:
2raiz3 = raizx^2 + 1
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(2raiz3)^2 = x^2 + 1 Rightarrow 43 = x^2 + 1
Subtraindo 1:
x^2 = 43 - 1 = 13 Rightarrow x = pm 1raiz3
Racionalizando:
x = pm raiz33

Passo 9

Agora, usando y = -2 ( pm raiz33 ) = mp 2raiz33 :
C = ( raiz33, -2raiz33 ) ou C = ( -raiz33, 2raiz33 )
Então, temos dois possíveis pontos para :

Resposta

Os pontos C = ( raiz33, -2raiz33 ) ou C = ( -raiz33, 2raiz33 ) que satisfazem as condições são:

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