Em um plano cartesiano, sejam
e
. Determine o ponto
deste plano de modo que o triângulo
seja retângulo em
e tenha ângulo de
no vértice
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um ponto
no plano cartesiano de modo que o triângulo
seja retângulo em
e tenha um ângulo de
no vértice
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, usando coordenadas para resolver o problema. Vamos precisar saber sobre ângulos, vetores e como calcular distâncias entre pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar os pontos que já temos:
e
. O triângulo é retângulo em
, o que significa que os lados
e
são perpendiculares. Em termos de vetores, isso quer dizer que o produto escalar de
e
deve ser zero.
Passo 3
Calculando
:
Vamos chamar as coordenadas de
de
. Então,
.
Passo 4
Para que
e
sejam perpendiculares:
Isso simplifica para:
Então, qualquer ponto
deve satisfazer essa relação entre
e
.
Passo 5
Agora, queremos que o ângulo no vértice
seja de
. Para isso, vamos usar a fórmula do cosseno para o ângulo entre dois vetores. Primeiro, vamos encontrar os vetores
e
:
A fórmula do cosseno é:
Sabemos que
, então
.
Passo 6
Vamos substituir na fórmula:
Simplificando:
Lembrando que
, vamos substituir isso na equação.
Passo 7
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos as duas expressões:
Invertendo os dois lados:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo 1:
Racionalizando:
Passo 9
Agora, usando
:
Então, temos dois possíveis pontos para
:
Resposta
Os pontos
que satisfazem as condições são: