O intervalo de confiança a 95 %(35,21 ; 35,99) foi construído com uma amostra de tamanho 100, para a média de uma população com desvio padrão 1,7.
Se fosse utilizado a mesma amostra, mas com uma confiança de 90 %, qual seria o intervalo de confiança?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A questão pede para a gente encontrar o intervalo de confiança a 90% para a média de uma população, usando uma amostra de tamanho 100. A gente já sabe que com 95% de confiança o intervalo é (35,21 ; 35,99) e que o desvio padrão da população é 1,7. Para resolver isso, vamos precisar entender como os intervalos de confiança funcionam e usar a distribuição normal com o desvio padrão conhecido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá um intervalo dentro do qual esperamos que a média da população esteja, com um certo nível de confiança. No caso, a gente já tem o intervalo para 95% e precisa encontrar para 90%.

Passo 3

Sabemos que o intervalo de confiança é calculado usando a fórmula:
Média pm Z times (sigmaraizn) é
Aqui, é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado, é o desvio padrão da população e é o tamanho da amostra.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a média da amostra usando o intervalo de 95%. A média ( barx = 35,21 + 35,992 = 35,60 ) é o ponto central do intervalo, então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor de para 95% de confiança. Sabemos que para 95%, é aproximadamente 1,96. Vamos usar isso para validar nossos cálculos.

Passo 6

Vamos calcular o erro padrão ( SE = sigmaraizn = 1,7raiz100 = 1,710 = 0,17 ):

Passo 7

Com o erro padrão e 35,60 pm 1,96 times 0,17 Rightarrow 35,60 pm 0,3332 , podemos verificar o intervalo de 95%:
O que nos dá aproximadamente (35,27; 35,93). Há uma pequena diferença devido a arredondamentos, mas confirma nosso processo.

Passo 8

Agora, vamos calcular o intervalo de confiança para 90%. Primeiro, precisamos do valor de para 90% de confiança, que é aproximadamente 1,645.

Passo 9

Usando a mesma média e erro padrão:
35,60 pm 1,645 times 0,17 Rightarrow 35,60 pm 0,2797
Então, o intervalo de confiança a 90% será aproximadamente (35,32; 35,88).

Resposta

O intervalo de confiança a 90% é aproximadamente (35,32; 35,88).

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