Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. São retiradas 5 bolas com reposição dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo o número de bolas verdes entre as bolas retiradas. Dê o que se pede:
c) valor médio da v.a. (esperança da v.a.);

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma urna com 30 bolas brancas e 20 bolas verdes, totalizando 50 bolas. Vamos retirar 5 bolas, uma de cada vez, e depois colocar cada bola de volta na urna (isso é o que significa “com reposição”). A variável aleatória representa o número de bolas verdes que vamos tirar nessas 5 retiradas. Nosso objetivo aqui é descobrir o valor médio dessa variável , também conhecida como a esperança matemática.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de tirar uma bola verde em uma única tentativa. Como temos 20 bolas verdes e 50 bolas no total, essa probabilidade ( ) é:
Isso significa que, em cada retirada, há 40% de chance de tirar uma bola verde.

Passo 3

Agora, como vamos fazer 5 retiradas com reposição, e cada retirada é independente das anteriores, podemos modelar isso usando a distribuição binomial. Nessa distribuição, temos dois parâmetros importantes:
  • : número de tentativas (no caso, 5 retiradas)
  • : probabilidade de sucesso em cada tentativa (tirar uma bola verde, que já calculamos como 0.4)
A esperança matemática (valor médio) da variável na distribuição binomial é dada pela fórmula:

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com os valores que temos:
Isso significa que, em média, esperamos tirar 2 bolas verdes nas 5 retiradas.

Resposta

O valor médio da variável aleatória é 2.

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Indivíduo
1 1 6
2 3 2
3 2 4
4 3 1
5 2 4
6 2 1
7 3 3
8 1 5
9 2 2
10 3 2
11 2 5
12 3 2
13 1 6
14 2 6
15 3 2
16 4 2
17 1 5
18 2 5
19 2 1
20 2 1
Indivíduo
:—: :—: :—:
21 2 4
22 3 2
23 4 1
24 1 5
25 2 4
26 3 2
27 4 1
28 1 5
29 4 4
30 3 3
31 2 2
32 1 1
33 4 1
34 2 6
35 4 2
36 3 1
37 1 4
38 3 2
39 2 3
40 2 5
(a) Usando a mediana classifique os indivíduos em dois níveis, alto e baixo, para cada uma das variáveis, e construa a distribuição de frequência conjunta das duas classificações.
Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. São retiradas 5 bolas com reposição dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo o número de bolas verdes entre as bolas retiradas. Dê o que se pede:
a) defina a distribuição da v.a. X e seu gráfico (verifique se a distribuição segue algum modelo conhecido e, se sim, justifique);
O intervalo de confiança a foi construído com uma amostra de tamanho 100, para a média de uma população com desvio padrão 1,7.
Se fosse utilizado a mesma amostra, mas com uma confiança de , qual seria o intervalo de confiança?
Suponha que em uma determinada população de mulheres grávidas no seu terceiro mês, tiveram algum cuidado pré-natal. Se uma amostra aleatória de 200 mulheres dessa população é selecionada, qual a probabilidade que a proporção amostral das mulheres que tiveram algum cuidado pré-natal seja no máximo 0,85 ?