Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. São retiradas 5 bolas com reposição dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo o número de bolas verdes entre as bolas retiradas. Dê o que se pede:
c) valor médio da v.a. (esperança da v.a.);

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma urna com 30 bolas brancas e 20 bolas verdes, totalizando 50 bolas. Vamos retirar 5 bolas, uma de cada vez, e depois colocar cada bola de volta na urna (isso é o que significa “com reposição”). A variável aleatória representa o número de bolas verdes que vamos tirar nessas 5 retiradas. Nosso objetivo aqui é descobrir o valor médio dessa variável , também conhecida como a esperança matemática.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de tirar uma bola verde em uma única tentativa. Como temos 20 bolas verdes e 50 bolas no total, essa probabilidade ( p = 2050 = 0.4 ) é:
Isso significa que, em cada retirada, há 40% de chance de tirar uma bola verde.

Passo 3

Agora, como vamos fazer 5 retiradas com reposição, e cada retirada é independente das anteriores, podemos modelar isso usando a distribuição binomial. Nessa distribuição, temos dois parâmetros importantes:
  • E(X) = n times p : número de tentativas (no caso, 5 retiradas)
  • : probabilidade de sucesso em cada tentativa (tirar uma bola verde, que já calculamos como 0.4)
A esperança matemática (valor médio) da variável na distribuição binomial é dada pela fórmula:

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com os valores que temos:
E(X) = 5 times 0.4 = 2
Isso significa que, em média, esperamos tirar 2 bolas verdes nas 5 retiradas.

Resposta

O valor médio da variável aleatória é 2.

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