Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. São retiradas 5 bolas com reposição dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo o número de bolas verdes entre as bolas retiradas. Dê o que se pede:
c) valor médio da v.a. (esperança da v.a.);
c) valor médio da v.a. (esperança da v.a.);
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma urna com 30 bolas brancas e 20 bolas verdes, totalizando 50 bolas. Vamos retirar 5 bolas, uma de cada vez, e depois colocar cada bola de volta na urna (isso é o que significa “com reposição”). A variável aleatória
representa o número de bolas verdes que vamos tirar nessas 5 retiradas. Nosso objetivo aqui é descobrir o valor médio dessa variável
, também conhecida como a esperança matemática.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de tirar uma bola verde em uma única tentativa. Como temos 20 bolas verdes e 50 bolas no total, essa probabilidade (
) é:
Isso significa que, em cada retirada, há 40% de chance de tirar uma bola verde.
Passo 3
Agora, como vamos fazer 5 retiradas com reposição, e cada retirada é independente das anteriores, podemos modelar isso usando a distribuição binomial. Nessa distribuição, temos dois parâmetros importantes:
-
: número de tentativas (no caso, 5 retiradas) -
: probabilidade de sucesso em cada tentativa (tirar uma bola verde, que já calculamos como 0.4)
A esperança matemática (valor médio) da variável
na distribuição binomial é dada pela fórmula:
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula com os valores que temos:
Isso significa que, em média, esperamos tirar 2 bolas verdes nas 5 retiradas.
Resposta
O valor médio da variável aleatória
é 2.
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Indivíduo |
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---|---|---|
1 | 1 | 6 |
2 | 3 | 2 |
3 | 2 | 4 |
4 | 3 | 1 |
5 | 2 | 4 |
6 | 2 | 1 |
7 | 3 | 3 |
8 | 1 | 5 |
9 | 2 | 2 |
10 | 3 | 2 |
11 | 2 | 5 |
12 | 3 | 2 |
13 | 1 | 6 |
14 | 2 | 6 |
15 | 3 | 2 |
16 | 4 | 2 |
17 | 1 | 5 |
18 | 2 | 5 |
19 | 2 | 1 |
20 | 2 | 1 |
Indivíduo |
|
|
:—: | :—: | :—: |
21 | 2 | 4 |
22 | 3 | 2 |
23 | 4 | 1 |
24 | 1 | 5 |
25 | 2 | 4 |
26 | 3 | 2 |
27 | 4 | 1 |
28 | 1 | 5 |
29 | 4 | 4 |
30 | 3 | 3 |
31 | 2 | 2 |
32 | 1 | 1 |
33 | 4 | 1 |
34 | 2 | 6 |
35 | 4 | 2 |
36 | 3 | 1 |
37 | 1 | 4 |
38 | 3 | 2 |
39 | 2 | 3 |
40 | 2 | 5 |
(a) Usando a mediana classifique os indivíduos em dois níveis, alto e baixo, para cada uma das variáveis, e construa a distribuição de frequência conjunta das duas classificações.
Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. São retiradas 5 bolas com reposição dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo o número de bolas verdes entre as bolas retiradas. Dê o que se pede:
a) defina a distribuição da v.a. X e seu gráfico (verifique se a distribuição segue algum modelo conhecido e, se sim, justifique);
a) defina a distribuição da v.a. X e seu gráfico (verifique se a distribuição segue algum modelo conhecido e, se sim, justifique);
O intervalo de confiança a
foi construído com uma amostra de tamanho 100, para a média de uma população com desvio padrão 1,7.
Se fosse utilizado a mesma amostra, mas com uma confiança de , qual seria o intervalo de confiança?
Se fosse utilizado a mesma amostra, mas com uma confiança de
Suponha que em uma determinada população de mulheres grávidas no seu terceiro mês,
tiveram algum cuidado pré-natal. Se uma amostra aleatória de 200 mulheres dessa população é selecionada, qual a probabilidade que a proporção amostral das mulheres que tiveram algum cuidado pré-natal seja no máximo 0,85 ?