Suponha que em uma determinada população de mulheres grávidas no seu terceiro mês, 90 % tiveram algum cuidado pré-natal. Se uma amostra aleatória de 200 mulheres dessa população é selecionada, qual a probabilidade que a proporção amostral das mulheres que tiveram algum cuidado pré-natal seja no máximo 0,85 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma população de mulheres grávidas no terceiro mês, onde 90% delas tiveram algum cuidado pré-natal. A gente vai pegar uma amostra aleatória de 200 mulheres dessa população e quer saber qual a probabilidade de que, nessa amostra, no máximo 85% tenham tido algum cuidado pré-natal. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, mais especificamente sobre distribuição da proporção amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Proporção na população §: 0,90 (ou 90%)
  • Tamanho da amostra (n): 200 mulheres
A gente quer encontrar a probabilidade de que a proporção amostral ( ) seja no máximo 0,85.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar a distribuição normal da proporção amostral. Quando o tamanho da amostra é grande o suficiente, a distribuição de sigmap = raizp(1 - p)n é aproximadamente normal, com média igual a sigmap = raiz0,90 times 0,10200 = raiz0,09200 = raiz0,00045 approx 0,0212 e desvio padrão calculado pela fórmula:
Vamos calcular o desvio padrão:

Passo 4

Agora, vamos padronizar a proporção amostral para encontrar o escore-z, que nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal padrão. A fórmula do escore-z é:
z = p - psigmap
Substituindo os valores:
z = 0,85 - 0,900,0212 = -0,050,0212 approx -2,36

Passo 5

Com o valor de P(Z <= -2,36) approx 0,0091 ou 0,91% calculado, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão (ou uma calculadora de probabilidades) para encontrar a probabilidade correspondente a .
Consultando a tabela, encontramos que:

Resposta

A probabilidade de que, numa amostra de 200 mulheres, no máximo 85% tenham tido algum cuidado pré-natal é aproximadamente 0,91%.

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