Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo [0, 1] por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos dois polinômios no espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2. O produto interno definido aqui é uma integral de 0 a 1 do produto dos polinômios. Nosso objetivo é encontrar a projeção ortogonal do polinômio
na reta gerada por
. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção em espaços vetoriais com produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da projeção ortogonal de um vetor
sobre um vetor
:
Aqui,
é o produto interno de
e
, e
é o produto interno de
consigo mesmo.
Passo 3
Vamos calcular
. Isso significa integrar o produto de
e
de 0 a 1:
Vamos multiplicar os polinômios:
Agora, integramos termo a termo:
Somando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Expandindo o quadrado:
Integrando termo a termo:
Somando tudo:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar a fórmula da projeção:
Multiplicando:
Portanto:
Resposta
A projeção ortogonal de
na reta gerada por
é
. Portanto, a alternativa correta é a ©