Introduzimos em P2, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=2 x^2-2 x+3 na reta gerada por q(x)=2 x-4.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 2 x^2-2 x+3 no intervalo [0, 1] por um múltiplo de 2 x-4 é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) 247-12 x7
(B) -12 x^27+12 x7-187
© 167-8 x7
(D) -6 x^27+6 x7-97
(E) -10 x^27+10 x7-157
(F) 127-6 x7
(G) 207-10 x7
(H) -8 x^27+8 x7-127
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos dois polinômios no espaço P2, que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2. O produto interno definido aqui é uma integral de 0 a 1 do produto dos polinômios. Nosso objetivo é encontrar a projeção ortogonal do polinômio p(x) = 2x^2 - 2x + 3 na reta gerada por q(x) = 2x - 4. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção em espaços vetoriais com produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da projeção ortogonal de um vetor p sobre um vetor q:
projq p = ( lang<= p, q rang<=lang<= q, q rang<= ) q
Aqui, lang<= p, q rang<= é o produto interno de p e q, e lang<= q, q rang<= é o produto interno de q consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular lang<= p, q rang<=. Isso significa integrar o produto de p(x) e q(x) de 0 a 1:
lang<= p, q rang<= = integral0^1 (2x^2 - 2x + 3)(2x - 4) , dx
Vamos multiplicar os polinômios:
(2x^2 - 2x + 3)(2x - 4) = 4x^3 - 8x^2 + 6x - 8x^2 + 16x - 12 = 4x^3 - 16x^2 + 22x - 12
Agora, integramos termo a termo:
integral0^1 4x^3 , dx = [ x^4 ]0^1 = 1
integral0^1 -16x^2 , dx = -16 [ x^33 ]0^1 = -163
integral0^1 22x , dx = 22 [ x^22 ]0^1 = 11
integral0^1 -12 , dx = -12 [ x ]0^1 = -12
Somando tudo:
lang<= p, q rang<= = 1 - 163 + 11 - 12 = -163

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= q, q rang<=:
lang<= q, q rang<= = integral0^1 (2x - 4)^2 , dx
Expandindo o quadrado:
(2x - 4)^2 = 4x^2 - 16x + 16
Integrando termo a termo:
integral0^1 4x^2 , dx = 4 [ x^33 ]0^1 = 43
integral0^1 -16x , dx = -16 [ x^22 ]0^1 = -8
integral0^1 16 , dx = 16 [ x ]0^1 = 16
Somando tudo:
lang<= q, q rang<= = 43 - 8 + 16 = 283

Passo 5

Agora que temos lang<= p, q rang<= = -163 e lang<= q, q rang<= = 283, vamos aplicar a fórmula da projeção:
projq p = ( -163283 ) (2x - 4) = ( -1628 ) (2x - 4) = -47 (2x - 4)
Multiplicando:
-47 cdot 2x = -8x7
-47 cdot (-4) = 167
Portanto:
projq p = 167 - 8x7

Resposta

A projeção ortogonal de p(x) na reta gerada por q(x) é 167 - 8x7. Portanto, a alternativa correta é a © 167-8 x7

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