Seja A uma matrix m times n. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Imagem A=R^m, então A x=b tem solução única para todo b in R^m.
II - Se b in Imagem A e m então A x=b tem infinitas soluções.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz de tamanho e duas afirmações sobre as soluções da equação . O conteúdo principal aqui é sobre espaços de imagem e soluções de sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como imagem de uma matriz, soluções únicas e soluções infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Imagem . A imagem de uma matriz , também chamada de espaço coluna, é o conjunto de todos os vetores para os quais a equação tem pelo menos uma solução. Quando a Imagem é igual a , isso significa que para todo vetor em , existe pelo menos uma solução para .

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação I:
I - Se Imagem , então tem solução única para todo .
Para que a solução seja única, a matriz precisa ter posto completo e o número de colunas deve ser igual ao número de linhas . Ou seja, se e , então é invertível e a solução é única. Porém, se , mesmo com , haverá infinitas soluções porque existem mais variáveis do que equações.
Portanto, a afirmação I só é verdadeira se . A questão não especifica isso, então não podemos garantir que sempre haverá uma solução única.

Passo 4

Vamos agora para a afirmação II:
II - Se Imagem e então tem infinitas soluções.
Aqui, sabemos que está na imagem de , ou seja, existe pelo menos uma solução. Além disso, se , a matriz tem mais colunas do que linhas, o que significa que o sistema é subdeterminado. Em sistemas subdeterminados, geralmente existem infinitas soluções porque há mais variáveis do que equações, permitindo que algumas variáveis sejam livres.
Portanto, a afirmação II é verdadeira.

Resposta

(Apenas II é verdadeira.)

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