Seja
uma matrix
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Imagem
, então
tem solução única para todo
.
II - Se
Imagem
e
então
tem infinitas soluções.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se Imagem
II - Se
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz
de tamanho
e duas afirmações sobre as soluções da equação
. O conteúdo principal aqui é sobre espaços de imagem e soluções de sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como imagem de uma matriz, soluções únicas e soluções infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Imagem
. A imagem de uma matriz
, também chamada de espaço coluna, é o conjunto de todos os vetores
para os quais a equação
tem pelo menos uma solução. Quando a Imagem
é igual a
, isso significa que para todo vetor
em
, existe pelo menos uma solução para
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação I:
I - Se Imagem
, então
tem solução única para todo
.
Para que a solução seja única, a matriz
precisa ter posto completo e o número de colunas
deve ser igual ao número de linhas
. Ou seja, se
e
, então
é invertível e a solução é única. Porém, se
, mesmo com
, haverá infinitas soluções porque existem mais variáveis do que equações.
Portanto, a afirmação I só é verdadeira se
. A questão não especifica isso, então não podemos garantir que sempre haverá uma solução única.
Passo 4
Vamos agora para a afirmação II:
II - Se
Imagem
e
então
tem infinitas soluções.
Aqui, sabemos que
está na imagem de
, ou seja, existe pelo menos uma solução. Além disso, se
, a matriz
tem mais colunas do que linhas, o que significa que o sistema é subdeterminado. Em sistemas subdeterminados, geralmente existem infinitas soluções porque há mais variáveis do que equações, permitindo que algumas variáveis sejam livres.
Portanto, a afirmação II é verdadeira.
Resposta
(Apenas II é verdadeira.)