Seja theta o ângulo entre os vetores (-5,0,-4,-2) e (-3,4,5,3) em R^4. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 <= theta <= pi / 6
(B) pi / 6
© pi / 4
(D) pi / 3
(E) pi / 2
(F) 2 pi / 3
(G) 3 pi / 4
(H) 5 pi / 6
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço de quatro dimensões, : e . O objetivo é encontrar o ângulo entre eles. Para isso, vamos precisar usar conceitos de produto interno (ou produto escalar) e normas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4 e , o produto escalar é:
Vamos calcular isso para os nossos vetores.

Passo 3

Calculando o produto escalar:
u cdot v = (-5)(-3) + (0)(4) + (-4)(5) + (-2)(3) = 15 + 0 - 20 - 6 = -11
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de cada vetor. A norma de um vetor |u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 + u4^2 é dada por:
|u| = raiz(-5)^2 + 0^2 + (-4)^2 + (-2)^2 = raiz25 + 0 + 16 + 4 = raiz45 = 3raiz5
Fazendo isso para |v| = raiz(-3)^2 + 4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz9 + 16 + 25 + 9 = raiz59 e :
Para :
Para :

Passo 5

Com o produto escalar e as normas, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos theta = u cdot v|u| |v|
Substituindo os valores que encontramos:
cos theta = -113raiz5 times raiz59 = -113raiz295
Vamos calcular o valor aproximado disso.

Passo 6

Calculando aproximadamente:
raiz295 approx 17.1756 3 times 17.1756 approx 51.5268 cos theta approx -1151.5268 approx -0.2135
Agora, para encontrar theta = arccos(-0.2135) approx 1.784 radianos , usamos o arco cosseno:
1.784 rad times 180pi approx 102.2^circ
Convertendo para graus para facilitar a interpretação:

Resposta

O ângulo está entre e . Portanto, a alternativa correta é a letra (E) .

Exercícios relacionados