No inverno as superfícies internas e externas de uma parede de 30 cm de espessura se encontram a 22°C e 15 °C respectivamente. A superfície exterior troca calor por radiação com as superfícies que a rodeiam a 10 °C e por convecção com o ar do ambiente, também a 10 °C com um coeficiente de transferência de 8 W/mK. A radiação solar incide sobre a superfície a uma taxa de 30 W/m², onde tanto a emissividade e absortividade da superfície exterior são de 0.7. Qual será o valor da condutividade térmica da parede?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma parede com 30 cm de espessura que tem temperaturas diferentes nas superfícies interna e externa: 22°C por dentro e 15°C por fora. A superfície externa está trocando calor de duas maneiras: por radiação com o ambiente a 10°C e por convecção com o ar também a 10°C, com um coeficiente de transferência de calor de 8 W/m²K. Além disso, tem radiação solar incidindo na superfície externa a uma taxa de 30 W/m², e a emissividade e absortividade da superfície são 0,7. Precisamos encontrar a condutividade térmica da parede.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por condução, convecção e radiação. Vamos calcular os diferentes fluxos de calor e igualá-los para encontrar a condutividade térmica da parede.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a transferência de calor por condução através da parede. A fórmula para condução de calor é:
Qcond = k cdot A cdot De
Onde:
  • $ Q_{cond} $ é a taxa de transferência de calor por condução (W),
  • $ k $ é a condutividade térmica da parede (W/mK),
  • $ A $ é a área da parede (m²),
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura através da parede (°C),
  • $ d $ é a espessura da parede (m).
Como estamos buscando $ k $, precisamos expressar $ Q_{cond} $ em termos dos outros processos de transferência de calor.

Passo 3

Agora, vamos analisar a transferência de calor por convecção na superfície externa. A fórmula para convecção é:
Qconv = h cdot A cdot (Tsuperfície - Tambiente) í
Onde:
  • $ Q_{conv} $ é a taxa de transferência de calor por convecção (W),
  • $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção (W/m²K),
  • $ A $ é a área da superfície (m²),
  • $ T_{superfície} $ é a temperatura da superfície externa (°C),
  • $ T_{ambiente} $ é a temperatura do ambiente (°C).
Substituindo os valores dados:
Qconv

Passo 4

Em seguida, vamos considerar a transferência de calor por radiação. A troca de calor por radiação entre duas superfícies é dada por:
Qrad = epsilon cdot sigma cdot A cdot (T1^4 - T2^4)
Onde:
  • $ Q_{rad} $ é a taxa de transferência de calor por radiação (W),
  • $ \epsilon $ é a emissividade da superfície,
  • $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann ( Qrad ²),
  • $ A $ é a área da superfície (m²),
  • $ T_1 $ e $ T_2 $ são as temperaturas das superfícies em Kelvin (K).
Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
epsilon
sigma
Substituindo na fórmula:
5,67 times 10^-8 , W/m²K^4
Vamos calcular $ (288,15^4 - 283,15^4) $:
A
T1
T2
Então:
T1 = 15 + 273,15 = 288,15 , K
T2 = 10 + 273,15 = 283,15 , K
Qrad = 0,7 cdot 5,67 times 10^-8 cdot A cdot (288,15^4 - 283,15^4)

Passo 5

Além disso, temos a radiação solar incidente na superfície externa, dada por 30 W/m², com absorptividade de 0,7. A taxa de absorção de calor por radiação solar é:
Qsolar = alpha cdot G cdot A
Onde:
  • $ \alpha $ é a absorptividade (0,7),
  • $ G $ é a irradiância solar (30 W/m²),
  • $ A $ é a área da superfície (m²).
Então:
alpha

Passo 6

Agora, para o equilíbrio térmico, a soma dos fluxos de calor que entram deve ser igual à soma dos que saem. Considerando que o calor conduzido através da parede é igual à soma dos calores por convecção, radiação e absorção solar:
Qcond = Qconv + Qrad + Qsolar
Substituindo os valores que encontramos:
k cdot A cdot (22 - 15)0,3 = 40A + 18,62A + 21A
Simplificando:
k cdot A cdot 70,3 = 79,62A

Passo 7

Podemos cancelar $ A $ dos dois lados da equação:
A
Agora, isolamos $ k $:
k cdot 70,3 = 79,62
Calculando:
k
k = 79,62 cdot 0,37

Resposta

A condutividade térmica da parede é aproximadamente $ 3,41 , W/mK $.

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