No inverno as superfícies internas e externas de uma parede de 30 cm de espessura se encontram a 22°C e 15 °C respectivamente. A superfície exterior troca calor por radiação com as superfícies que a rodeiam a 10 °C e por convecção com o ar do ambiente, também a 10 °C com um coeficiente de transferência de 8 W/mK. A radiação solar incide sobre a superfície a uma taxa de 30 W/m², onde tanto a emissividade e absortividade da superfície exterior são de 0.7. Qual será o valor da condutividade térmica da parede?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma parede com 30 cm de espessura que tem temperaturas diferentes nas superfícies interna e externa: 22°C por dentro e 15°C por fora. A superfície externa está trocando calor de duas maneiras: por radiação com o ambiente a 10°C e por convecção com o ar também a 10°C, com um coeficiente de transferência de calor de 8 W/m²K. Além disso, tem radiação solar incidindo na superfície externa a uma taxa de 30 W/m², e a emissividade e absortividade da superfície são 0,7. Precisamos encontrar a condutividade térmica da parede.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por condução, convecção e radiação. Vamos calcular os diferentes fluxos de calor e igualá-los para encontrar a condutividade térmica da parede.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a transferência de calor por condução através da parede. A fórmula para condução de calor é:
Onde:
- $ Q_{cond} $ é a taxa de transferência de calor por condução (W),
- $ k $ é a condutividade térmica da parede (W/mK),
- $ A $ é a área da parede (m²),
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura através da parede (°C),
- $ d $ é a espessura da parede (m).
Como estamos buscando $ k $, precisamos expressar $ Q_{cond} $ em termos dos outros processos de transferência de calor.
Passo 3
Agora, vamos analisar a transferência de calor por convecção na superfície externa. A fórmula para convecção é:
Onde:
- $ Q_{conv} $ é a taxa de transferência de calor por convecção (W),
- $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção (W/m²K),
- $ A $ é a área da superfície (m²),
- $ T_{superfície} $ é a temperatura da superfície externa (°C),
- $ T_{ambiente} $ é a temperatura do ambiente (°C).
Substituindo os valores dados:
Passo 4
Em seguida, vamos considerar a transferência de calor por radiação. A troca de calor por radiação entre duas superfícies é dada por:
Onde:
- $ Q_{rad} $ é a taxa de transferência de calor por radiação (W),
- $ \epsilon $ é a emissividade da superfície,
- $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann (
), - $ A $ é a área da superfície (m²),
- $ T_1 $ e $ T_2 $ são as temperaturas das superfícies em Kelvin (K).
Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
Substituindo na fórmula:
Vamos calcular $ (288,15^4 - 283,15^4) $:
Então:
Passo 5
Além disso, temos a radiação solar incidente na superfície externa, dada por 30 W/m², com absorptividade de 0,7. A taxa de absorção de calor por radiação solar é:
Onde:
- $ \alpha $ é a absorptividade (0,7),
- $ G $ é a irradiância solar (30 W/m²),
- $ A $ é a área da superfície (m²).
Então:
Passo 6
Agora, para o equilíbrio térmico, a soma dos fluxos de calor que entram deve ser igual à soma dos que saem. Considerando que o calor conduzido através da parede é igual à soma dos calores por convecção, radiação e absorção solar:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 7
Podemos cancelar $ A $ dos dois lados da equação:
Agora, isolamos $ k $:
Calculando:
Resposta
A condutividade térmica da parede é aproximadamente $ 3,41 , W/mK $.