Resolva as EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
. Esse tipo de equação é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não linear. Para resolver, vamos usar o método de Bernoulli, que é perfeito para equações do tipo
.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos na nossa equação:
O método de Bernoulli envolve uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Vamos fazer isso usando
.
Passo 3
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Multiplicamos ambos os lados da equação original por
:
Substituindo
:
Rearranjando:
Passo 4
Agora, temos uma equação linear em
:
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo ambos os lados:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.