Resolva as EDO d/y - y = e^x y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: . Esse tipo de equação é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não linear. Para resolver, vamos usar o método de Bernoulli, que é perfeito para equações do tipo .

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos na nossa equação:
O método de Bernoulli envolve uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Vamos fazer isso usando .

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Multiplicamos ambos os lados da equação original por :
Substituindo :
Rearranjando:

Passo 4

Agora, temos uma equação linear em :
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante ( ) é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :
Lembrando que , substituímos de volta:
Invertendo ambos os lados:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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