Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y sendo dados f(x, y)=x y raizx^2+y^2 e B o retângulo 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre o retângulo definido por e . Para isso, vamos usar os conceitos de integrais duplas e como calcular integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular uma integral dupla sobre uma região . Basicamente, estamos somando os valores da função em todos os pontos dentro desse retângulo. Para facilitar, vamos calcular a integral em duas etapas: primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar em uma variável de cada vez. Então, nossa integral fica:
integral0^1 integral0^1 x y raizx^2 + y^2 , dx , dy
Primeiro, vamos integrar em relação a , mantendo como constante.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna:
integral0^1 x y raizx^2 + y^2 , dx
Aqui, y integral0^1 x raizx^2 + y^2 , dx é constante, então podemos tirar de fora da integral:
Agora, para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então ou .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
y integralu= y^2^u=1 + y^2 raizu2 , du = y2 integraly^2^1 + y^2 u^1/2 , du
Integrando y2 [ 23 u^3/2 ]y^2^1 + y^2 = y3 [ (1 + y^2)^3/2 - (y^2)^3/2 ] , obtemos:
y3 [ (1 + y^2)^3/2 - y^3 ]
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a integral0^1 y3 [ (1 + y^2)^3/2 - y^3 ] , dy de 0 a 1:
13 integral0^1 y (1 + y^2)^3/2 , dy - 13 integral0^1 y^4 , dy
Essa integral pode ser dividida em duas partes:

Passo 7

Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
13 integral0^1 y (1 + y^2)^3/2 , dy
Fazendo a substituição 16 integral1^2 u^3/2 , du = 16 [ 25 u^5/2 ]1^2 = 115 ( 2^5/2 - 1 ) = 115 ( 4raiz2 - 1 ) , 13 integral0^1 y^4 , dy = 13 [ y^55 ]0^1 = 115 , então :
Segunda parte:

Passo 8

Juntando as duas partes:
115 ( 4raiz2 - 1 ) - 115 = 4raiz2 - 215

Resposta

A integral dupla é igual a .

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