Calcule
sendo dados
e
o retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre o retângulo
definido por
e
. Para isso, vamos usar os conceitos de integrais duplas e como calcular integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular uma integral dupla sobre uma região
. Basicamente, estamos somando os valores da função
em todos os pontos dentro desse retângulo. Para facilitar, vamos calcular a integral em duas etapas: primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar em uma variável de cada vez. Então, nossa integral fica:
Primeiro, vamos integrar em relação a
, mantendo
como constante.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna:
Aqui,
é constante, então podemos tirar
de fora da integral:
Agora, para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja
, então
ou
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Integrando
, obtemos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
de 0 a 1:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Passo 7
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
Fazendo a substituição
,
, então
:
Segunda parte:
Passo 8
Juntando as duas partes:
Resposta
A integral dupla é igual a
.
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, onde
é o semicírculo
.
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e
.
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e
.
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.