Calcule sendo dados e o retângulo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre o retângulo definido por e . Para isso, vamos usar os conceitos de integrais duplas e como calcular integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular uma integral dupla sobre uma região . Basicamente, estamos somando os valores da função em todos os pontos dentro desse retângulo. Para facilitar, vamos calcular a integral em duas etapas: primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar em uma variável de cada vez. Então, nossa integral fica:
Primeiro, vamos integrar em relação a , mantendo como constante.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna:
Aqui, é constante, então podemos tirar de fora da integral:
Agora, para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então ou .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Integrando , obtemos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a de 0 a 1:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:

Passo 7

Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
Fazendo a substituição , , então :
Segunda parte:

Passo 8

Juntando as duas partes:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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Calcule , onde é o semicírculo .
Calcule , onde é o paralelogramo de vértices e .
Calcule sendo dados e 𝟚.
Inverta a ordem de integração .