Calcule a integral de linha com respeito ao comprimento de arco:
, onde
tem equação vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha em relação ao comprimento de arco, especificamente ∫₍C₎ z ds. O caminho C é definido por uma equação vetorial: r(t) = t cos t i + t sin t j + t k, onde t varia de 0 até t₀. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular a derivada vetorial e usar a fórmula da integral de linha em termos de t.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral de linha como essa, a gente precisa parametrizar a curva C em termos de uma variável, que aqui é t. Já temos a parametrização: r(t) = t cos t i + t sin t j + t k.
Passo 3
Nossa próxima etapa é encontrar a derivada da posição vetorial r(t) em relação a t, que é r’(t). Isso significa que temos que derivar cada componente de r(t) em relação a t.
Então, r(t) = [t cos t] i + [t sin t] j + [t] k
Derivando cada parte:
- Para a componente i: d/dt [t cos t] = cos t – t sin t
- Para a componente j: d/dt [t sin t] = sin t + t cos t
- Para a componente k: d/dt [t] = 1
Então, r’(t) = (cos t – t sin t) i + (sin t + t cos t) j + 1 k
Passo 4
Agora, precisamos calcular o módulo da derivada vetorial r’(t), que representa a velocidade ao longo da curva. A fórmula para o módulo é:
|r’(t)| = √[(dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²]
Substituindo as derivadas que calculamos:
|r’(t)| = √[(cos t – t sin t)² + (sin t + t cos t)² + (1)²]
Passo 5
Vamos expandir os quadrados dentro da raiz:
(cos t – t sin t)² = cos²t – 2t sin t cos t + t² sin²t
(sin t + t cos t)² = sin²t + 2t sin t cos t + t² cos²t
Somando essas duas expressões:
cos²t – 2t sin t cos t + t² sin²t + sin²t + 2t sin t cos t + t² cos²t = cos²t + sin²t + t² sin²t + t² cos²t
Lembrando que cos²t + sin²t = 1, temos:
1 + t² (sin²t + cos²t) = 1 + t² × 1 = 1 + t²
Então, |r’(t)| = √(1 + t²)
Passo 6
Agora que temos |r’(t)|, vamos montar a integral de linha. A fórmula geral é:
∫₍C₎ f(x, y, z) ds = ∫₍a₎⁽ᵇ⁾ f(r(t)) |r’(t)| dt
No nosso caso, f(x, y, z) = z, e r(t) já nos dá z = t. Então:
∫₍C₎ z ds = ∫₍0₎⁽ᵗ⁰⁾ t × √(1 + t²) dt
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral ∫₍0₎⁽ᵗ⁰⁾ t √(1 + t²) dt. Para isso, usamos uma substituição u = 1 + t², então du/dt = 2t, ou seja, (1/2) du = t dt.
Substituindo na integral:
∫ t √(1 + t²) dt = (1/2) ∫ √u du
Passo 8
A integral de √u du é:
∫ √u du = (2/3) u^(3/2) + C
Então, voltando:
(1/2) × (2/3) u^(3/2) = (1/3) u^(3/2)
Substituindo u = 1 + t²:
(1/3) (1 + t²)^(3/2)
Passo 9
Agora, avaliamos de 0 até t₀:
(1/3) (1 + t₀²)^(3/2) – (1/3) (1 + 0²)^(3/2) = (1/3) (1 + t₀²)^(3/2) – (1/3)(1) = (1/3) [(1 + t₀²)^(3/2) – 1]
Resposta
A integral de linha ∫₍C₎ z ds é igual a (1/3) [(1 + t₀²)^(3/2) – 1].
Exercícios relacionados
Um fio tem um formato de um círculo
. Determine sua massa se a densidade no ponto
é
.
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Calcule a integral
onde
é a região limitada pelas retas
,
e pela cúbica
.
Inverta a ordem de intragração na integral
, onde
é suposta contínua em
.