Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
integral0^1[integraly^3^raizy f(x, y) d x] d y

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral dupla onde a gente integra a função sobre uma certa região no plano . O objetivo é inverter a ordem de integração e calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração atuais e descobrir como eles ficam quando a gente troca a ordem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral dada é:
integral0^1[integraly^3^raizy f(x, y) , dx] dy
Aqui, varia de 0 a 1. Para cada valor de , varia de até . Vamos desenhar isso no plano :
  1. Curva inferior:
  2. Curva superior:

Passo 3

Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar em primeiro e depois em . Para isso, precisamos encontrar os novos limites de integração.
Primeiro, identificamos os valores de que a região cobre. Olhando as curvas:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, varia de 0 a 1.

Passo 4

Para cada valor de y = x^1/3 , precisamos encontrar os valores de y = x^2 que correspondem à região. Isso significa resolver as equações e para .
Resolvendo para :
Resolvendo para :
Portanto, para cada entre 0 e 1, varia de a .

Passo 5

Com esses novos limites, a integral invertida fica assim:
integral0^1[integralx^2^x^1/3 f(x, y) , dy] dx

Passo 6

Agora, vamos calcular a área da região de integração. Para isso, consideramos que integral0^1[integralx^2^x^1/3 1 , dy] dx (já que a área é a integral de 1 sobre a região). Então, a integral para a área é:

Passo 7

Calculando a integral interna:
integralx^2^x^1/3 1 , dy = x^1/3 - x^2
Agora, a integral externa fica:
integral0^1 (x^1/3 - x^2) , dx

Passo 8

Vamos calcular essa integral:
integral0^1 x^1/3 , dx - integral0^1 x^2 , dx = [ 34 x^4/3 ]0^1 - [ 13 x^3 ]0^1 = 34 - 13 = 912 - 412 = 512

Resposta

A área da região de integração é .

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f(x, y, z) = 1 / (x^2 + z^2 - 1)
Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
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