Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral dupla onde a gente integra a função
sobre uma certa região no plano
. O objetivo é inverter a ordem de integração e calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração atuais e descobrir como eles ficam quando a gente troca a ordem de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral dada é:
Aqui,
varia de 0 a 1. Para cada valor de
,
varia de
até
. Vamos desenhar isso no plano
:
- Curva inferior:
- Curva superior:
Passo 3
Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar em
primeiro e depois em
. Para isso, precisamos encontrar os novos limites de integração.
Primeiro, identificamos os valores de
que a região cobre. Olhando as curvas:
- Quando
, - Quando
,
Então,
varia de 0 a 1.
Passo 4
Para cada valor de
, precisamos encontrar os valores de
que correspondem à região. Isso significa resolver as equações
e
para
.
Resolvendo
para
:
Resolvendo
para
:
Portanto, para cada
entre 0 e 1,
varia de
a
.
Passo 5
Com esses novos limites, a integral invertida fica assim:
Passo 6
Agora, vamos calcular a área da região de integração. Para isso, consideramos que
(já que a área é a integral de 1 sobre a região). Então, a integral para a área é:
Passo 7
Calculando a integral interna:
Agora, a integral externa fica:
Passo 8
Vamos calcular essa integral:
Resposta
A área da região de integração é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.
Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.