Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y)=x y e B:-1 <= x <= 1 e 0 <= y <=|x|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde a gente precisa calcular , sendo e a região definida por e . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como descrever a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Temos variando de a , e para cada , varia de até . Isso descreve uma área simétrica em relação ao eixo , onde vai de até a linha . Para visualizar, imagine um triângulo apontando para cima entre e , com o vértice no ponto .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Sabemos que integralx=-1^1 integraly=0^|x| x y , dy , dx pode ser escrita como uma integral iterada. Como varia de a e, para cada , varia de a , nossa integral fica:

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integral0^|x| x y , dy = x integral0^|x| y , dy = x [ y^22 ]0^|x| = x ( |x|^22 - 0 ) = x |x|^22 = x |x|^22 . Tratar x x^22 = x^32 como constante:
Como , simplificamos para:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral-1^1 x^32 , dx = 12 integral-1^1 x^3 , dx em relação a 12 [ x^44 ]-1^1 = 12 ( 1^44 - (-1)^44 ) = 12 ( 14 - 14 ) = 12 times 0 = 0 de a :
A integral de é , então:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.
f(x, y, z) = 1 / (x^2 + z^2 - 1)
Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
f(x, y) = (x + y - 4) / (raiz(x + y) - 2) no(2, 2)
Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
integral0^1[integraly^3^raizy f(x, y) d x] d y
Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
integral1^e[integralln (y)^y f(x, y) d x] d y