Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde a gente precisa calcular
, sendo
e a região
definida por
e
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como descrever a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Temos
variando de
a
, e para cada
,
varia de
até
. Isso descreve uma área simétrica em relação ao eixo
, onde
vai de
até a linha
. Para visualizar, imagine um triângulo apontando para cima entre
e
, com o vértice no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Sabemos que
pode ser escrita como uma integral iterada. Como
varia de
a
e, para cada
,
varia de
a
, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a
. Tratar
como constante:
Como
, simplificamos para:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
de
a
:
A integral de
é
, então:
Resposta
A integral dupla
vale
.
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Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
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