Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e a missão é descobrir em quais pontos essa função é contínua. Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções de várias variáveis, onde a gente precisa verificar onde a função está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se você pode desenhá-la sem levantar o lápis do papel nesse ponto. No caso de funções racionais, como a nossa, a continuidade depende de o denominador ser diferente de zero, porque divisão por zero é indefinida.
Passo 3
Então, para garantir que
seja contínua, precisamos que o denominador
seja diferente de zero. Ou seja, queremos:
Passo 4
Resolvendo essa inequação:
Essa é a equação de um cilindro circular no espaço tridimensional, com o eixo ao longo do eixo
. A função não é definida exatamente nessa superfície, porque aí o denominador seria zero.
Passo 5
Portanto, o conjunto dos pontos de continuidade de
é todo o espaço
menos os pontos que satisfazem
. Em outras palavras, a função é contínua em todos os pontos onde
.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade de
é
menos os pontos que satisfazem
. Ou seja:
Exercícios relacionados
Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.